TRUQUITOS, MAÑAS Y MALAS COSTUMBRES EN EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA

Dentro de los tantos lujos que se pueden dar los reyes está el de tener los mejores preceptores. No obstante, tengo para mí que la mayor parte de las veces este es un lujo inútil. Se me viene a la mente Ptolomeo Sóter I quien tenía como preceptor, nada más y nada menos, que al sabio Euclides autor, entre otras obras, de los Elementos, monumental tratado en trece volúmenes que contiene (salvo el tema de las cónicas) todo el saber matemático acumulado en su época.

El asunto es que el anecdotario (que no siempre es fiel a la verdad) recoge un incidente en el que el soberano, posiblemente cansado de una explicación algo fatigosa de un largo teorema, inquirió al sabio acerca de una manera más corta de obtener el resultado. La respuesta que recibió debe haber herido su real orgullo, pues el geómetra le espetó: "No hay camino de reyes para la geometría". De ser cierta la anécdota, se convierte Ptolomeo Sóter en el antecedente más notable de ese espécimen de aprendiz que, sin poder ni querer entender la extraordinaria potencia formativa del pensamiento matemático, puja por convertirlo en un baúl de trucos y mañas, más propio de un prestidigitador que de alguien interesado realmente en su formación. Todo profesor de matemática ha vivido la experiencia del estudiante que le solicita: "Profe, ¿usted no me puede dar un truquito para hacer eso más rápido?".

Lo peor es que hay muchos profes que reparten trucos a diestra y siniestra; son la adoración de estos estudiantes. Algunos hasta escriben libros y, aunque no lo dicen expresamente, su estrategia de enseñanza se sustenta sobre el pensamiento fijo y absolutamente esquemático; los problemas de tales libros parecen sacados de un molde, pero vienen a montones para que el estudiante repita la rutina hasta el cansancio y asuma que su repetición es conocimiento adquirido. Este tipo de libro se ha hecho popular por cierto tipo de profesor que, ante cualquier estudiante inquisitivo lo invita -sin dejo alguno de vergüenza- a que cumpla su rutina y no se "complique" la vida. Hasta ahora no he mencionado la ingente cantidad de videos YouTube o TikTok para tal o cual truco, desde multiplicar dos números hasta calcular integrales.

En la página 30 del tomo 4 de la Enciclopedia Sigma de James Newman, conseguimos esta cita de Alfred North Whitehead: 

 

  

Que deberíamos cultivar el hábito de pensar en lo que estamos haciendo, es una máxima profundamente errónea repetida en todos los textos y por las personas más eminentes cuando hacen discursos. La verdad es precisamente lo contrario. La civilización avanza ampliando el número de operaciones importantes que podemos realizar sin pensar en ellas. 

 

 

 

Es posible que el profe amante del truquito y la repetición se sienta representado por el pensamiento del notable inglés. Pero esa identificación no es otra cosa que su incapacidad de razonamiento, producto de tanta búsqueda de trucos y atajos mentales. A ver, tratemos de poner las cosas en su sitio.

A cualquier lector de este artículo que se le haga la pregunta "¿4x3?" contestará 12 sin pensar. Un niño de tercer o cuarto grado, quizás mirando el cielo con la cabeza ladeada, apartará cuatro de sus dedos y los moverá tres veces para realizar la enumeración. El adulto que le increpe "¡Niño: no sabes multiplicar!" está profundamente equivocado; el niño está demostrando su comprensión del concepto: la multiplicación es una suma repetida. Pero si necesita el concepto para obtener el resultado es que aún no ha repetido la experiencia lo suficiente para convertirla en un acto mecánico, imprescindible para su avance hacia la adquisición de conceptos posteriores. Lo que nos plantea Whitehead es que todo el conocimiento humano consiste en la repetición continua, durante toda la vida, de estos actos de mecanización.

Pero cabe una pregunta: ¿tiene sentido la adquisición de los mecanismos sin la comprensión previa de los conceptos? Pareciera que no, pero ¿cuánta de nuestra educación básica está sostenida sobre este hilo tan delgado y frágil? Voy a un ejemplo, cuando se nos enseña a restar podemos conseguir una situación como esta:

Me propongo parafrasear el procedimiento tal como lo recuerdo: 7-9 no se puede (sic), por eso tomo prestado 1 del 0 (de quien ya me habían dicho que era nada) y el 7 queda 17 (no 8: 17), entonces 17-9=8; el 0 queda entonces 9 (¡milagro de Dios: no solo Cristo hizo aparecer panes y peces de la nada!), por lo cual 9-4=5. El 0 siguiente también queda en 9 (¡otro milagro!) y entonces 9-5=4; finalmente el 2 se convierte en 1 y se baja al resultado.

¿Algo más mágico que eso? Lo dudo. ¿Y más truculento? Mayor duda. Pero así hemos avanzado y creo que no hay mejor explicación que esta para la enorme cantidad de personas que se refugian tan rápido en las calculadoras. ¿Cuántas personas saben que en ese procedimento (absolutamente válido, más allá de su absurdo fraseo) está implícita la estructura del sistema posicional decimal?  No puedo alargar el artículo con los detalles pero, en realidad, hemos sometido el minuendo a una tranformación que convierte la resta del esquema original

a este otro esquema

en el cual, debemos observar que no cambiamos el valor del minuendo, sino la manera de escribirlo, para poder disponer del 1 que nos hace falta para hacer 17, porque en realidad no es un 1 sino una decena.

Comenzando por situaciones como esa llegamos a otras más deformantes. Me ha tocado conocer profesionales que necesitan de una calculadora para obtener un 10% de alguna cantidad, así como también la ha necesitado cierta encargada de caja de un negocio para calcular el 20% de 100. Indicaciones claras de la pérdida del concepto de proporción. En este sentido he visto críticos muy duros del procedimiento de la regla de tres. Pero no puedo entender cómo es que hacemos recaer la culpa en el procedimiento que -como cualquier otro procedimiento de cálculo- es mecánico y debe servir, tal como solicita Whitehead, para obtener resultados sin pensar en los pasos que me lleven a ellos.

Pero ¿qué es la regla de tres? En principio puedo responder que es un problema muy viejo pues se se le consigue en los Elementos de Euclides y se llamaba problema de la cuarta proporcional. En esencia consiste en plantear una proporción de cuatro términos en la que desconocemos uno: precisamente es regla de tres porque conocemos tres. Se usa para resolver problemas del tipo "si 5 naranjas me cuestan 8 bolívares, ¿cuanto tendría que pagar por 11 naranjas?", en el entendido de que se mantienen los precios unitarios de la naranja para cualquier cantidad.

Estrictamente, la proporción tendría que plantearse de la siguiente forma

donde 5, 8 y 11 son los números conocidos y x es el número faltante en la proporción. En términos precisos se trata de una sencilla ecuación de primer grado pero, como toca enseñarlo en cuarto o quinto grado de primaria parece desaconsejable usar la palabra ecuación y entonces, en vez de hacer el planteamiento correcto se prefiere formular el siguiente esquema

pero creo que una vez que el maestro presenta este esquema, olvida el concepto de proporción y se concentra en el esquema mismo, como una construcción vacía que será un molde fijo para enunciados similares: el mismo inconveniente del profe que escribió su libro de problemas repetidos y repetitivos. De esta manera, la amplitud del concepto de proporción se disuelve por completo y el aprendiz pierde de vista casos particulares importantes como el de porcentaje, por ejemplo. Las víctimas de este procedimiento llegan a adultos pensando que un porcentaje es una tecla de la calculadora y ni por asomo calcularían un descuento de 20% sobre 60 escribiendo la regla de tres

y mucho menos multiplicando por 8 y ajustando la escala. Ambos son procedimientos conceptuales, posibles solo si se entiende lo que significa la frase descuento de 20% sobre 60.

Resumo mi punto de vista: el problema no está en los procedimientos si estos tienen una base teórica que permita usarlos desde un lenguaje metafórico. El usuario que le quita un 1 a un 0 para dejarlo en 9 debe reconocer la estructura del sistema decimal que permite el fraseo. Es un caso similar al estudiante (o profesor) que pasa al lado izquierdo en suma un término que resta del lado derecho de una igualdad. Todos sabemos que, estrictamente, lo que se está haciendo es sumar el mismo término en ambos lados y en uno de ellos se obtiene una suma cero. Pero si tuviéramos que repetir este último fraseo cada vez que debamos resolver una ecuación entonces estaríamos contradiciendo la sabia máxima que nos dejó Whitehead.

Enseñar procedimientos que no vengan acompañados de su justificación teórica no es otra cosa que enseñar trucos, mañas y malas costumbres. Convertir la enseñanza y el aprendizaje de la matemática en recolección y búsqueda de estos trucos es la mejor manera de ganarle más adversarios (de los tantos que ya tiene) a un conocimiento que -aparte de entretenido y motivador- es una clave cultural imprescindible para la época que vivimos.