jueves, 23 de febrero de 2017

ÓSCAR 2017: LAS PELÍCULAS


Ya. Solo faltan tres días para que se dé la gran fiesta de Hollywood. Y dentro de la gran fiesta el momento culminante es el de "La mejor película". Este año van nueve al concurso. Me permito compartir con ustedes una breve reseña de cada una. Espero sus propios comentarios.
La la land
En español: La ciudad de las estrellas. Homenaje a los grandes musicales de todos los tiempos. No soy muy aficionado al musical, pero en ésta se reconocen La novicia rebelde y Singing in the rain entre otros. Es además un canto de amor con todos los ingredientes que Hollywood sabe dar a los cantos de amor. Está bastante bien hecha, pero creo que también está algo sobrevalorada. Se llevará varias categorías y se le ha visto como una de las duras para mejor película. A mí esto último me parecería excesivo.

Hidden figures
Igual título en español: Figuras ocultas. Este año la temática negra -de la piel negra- ocupa un tercio de las nominaciones (3 de 9, exactamente). Lo interesante es que mezclan el problema de la negritud (todavía es un problema en EE. UU.) con otras discriminaciones. En este caso se trata de tres científicas negras, que trabajan para la NASA en los días del lanzamiento del primer vuelo aeroespacial tripulado. (El orgullo norteamericano se hirió profundamente con la hazaña de Gagarin.) Estas mujeres eran portadoras de tres pecados: dos naturales: ser mujeres y negras, y uno adquirido: ser científicas. Muy adecuada película para el tipo de papel que le gusta a Kevin Costner. Al final se impone la nobleza catira gringa, cuando todos los pecadores reconocen sus errores y te hacen brotar la lagrimita con su acto de contrición, cosa que preveías desde el principio, a pesar de lo histórico del hecho. Bastante fofo el papel de Jim Parsons, el célebre físico de The big bang theory, mientras Octavia Spencer y Taraji Henson se muestran grandes.


Hell or high water
Comanchería en España; en otras partes parece que será Contra viento y marea. De "westwern social" lo califica un critico español. Dos hermanos son ladrones de bancos por razones familiares. Atracos, persecuciones, heroísmos inauditos... mucha acción, en fin. Excelente actuación de Jeff Bridges que aspira al premio como mejor actor de reparto. Ambiguo final que deja reflexiones sobre el sentido de la justicia. Recomendable.

Moonlight
El tema de lo negro se mezcla aquí con la homosexualidad, otra minoría (¿seguro?) discriminada. También el famoso bullying entra en escena. Se desarrolla en tres actos con discursos breves y cortantes, que presentan el tema sin mayores aspavientos. Tiene ocho nominaciones. El personaje principal pasa por tres etapas de vida, representado por tres actores distintos, cada uno de los cuales está a la altura del papel.

Hacksaw ridge
En español: Hasta el último hombre. El tema bélico no podía estar ausente este año; esta vez no viene en tono de crítica sino, por el contrario, como una reafirmación del heroísmo y la nobleza gringas. Es lo que corresponde a un director como Mel Gibson, quien aspira al premio. Se trata de una historia basada en un hecho real durante la Segunda Guerra. Un objetor de conciencia acusado de cobarde se convierte en héroe galardonado por el estamento militar. Excelente Andew Garfield en su rol principal y es fuerte candidato a ganar.

Fences
Una traducción del nombre sería Cercas, pero parece que queda en español con su nombre original. La última (en esta lista) que toca el tema de lo negro, esta vez asociado a la pobreza y la discriminación que ambas categorías generaron. Las actuaciones son impresionantes por la profundidad psicológica con la que se expresa el drama familiar. Denzel Washington debería ganar el premio; este papel es muy superior al que hizo en Día de entrenamiento; en ésta se dirige él mismo. Viola Davis, inmensa; yo le daría el premio. La película es mi favorita para el Óscar. (No... no voy a apostar. Es muy fácil perder.)

Arrival
La llegada debe ser el título en español. Mientras en Contacto de R. Zemeckis, basada en la obra de Carl Sagan, la voz cantante la lleva la matemática, pues sus extraterrestres se identifican por la sucesión de los números primos, en ésta la disciplina protagonista es la lingüística. La escena la copa la bella Amy Adams, quien hace el papel de la lingüista encargada de traducir los signos de los extraterrestres, mientras Jeremy Renner está bastante insípido en su papel de matemático que trata, sin éxito, de buscar cosas como la sucesión de Fibonacci en los particulares signos de los alienígenas. El papel de Renner pareciera decir "Yo estoy aquí porque vi Contacto". No creo que esta película llegue, pero está bastante buena.

Manchester-by-the-sea
Entre nosotros, Manchester frente al mar. Drama familiar y personal particularmente intenso y devastador. A veces quienes te aman toman decisiones que cambian radicalmente tu vida, hasta extremos que te son insoportables. Casey Affleck aspira al premio como mejor actor y, si no se atraviesa el favoritismo que ha generado La la land en favor de Ryan Gosling, podría ganarlo. Michelle Williams está inmensa; hay una escena intimista, casi al final de la película, entre ella y Affleck que te deja absolutamente perturbado. La película también tiene cómo ganar y si le tocara me parecería correcto.

Lion
Debe ser León en español. El trato que el ciudadano corriente da a la infancia abandonada podría ser un indicativo de la calidad de un país; la película transcurre entre dos sociedades que tienen al respecto visiones diametralmente opuestas. Pero, contrario a lo que podría pensarse, el tema central no es de denuncia social, sino más bien intimista: el deseo de reconocer los propios orígenes. Atentos al final: es allí donde te explican el título. Dev Patel hace un rol distinto a los que le han tocado hasta ahora, pero lo hace con tanta solvencia que nos muestra a un actor en plena madurez. Buena película, pero no creo que tenga chance de figurar.


sábado, 3 de diciembre de 2016

¿Qué es la matemática experimental?

 Lo que sigue es mi traducción de un artículo publicado por Keith Devlin como promoción a un libro escrito por él en colaboración con Jonathan Borwein. El tema me parece fascinante, a pesar de los siete años transcurridos desde la publicación original del artículo. Espero que sea una traducción decorosa, pero en cualquier caso pueden enlazar al artículo original.

¿Qué es la matemática experimental?
Keith Devlin

En mi última columna mostré algunos ejemplos de hipótesis matemáticas que, aunque apoyadas por enorme evidencia numérica, resultan ser falsas a pesar de todo. Todo matemáticos sabe muy bien que las pruebas numéricas, incluso para miles de millones de casos particulares, no son demostraciones concluyentes. No importa cuántos ceros de la función zeta de Riemann se calculen y se observe que tienen una parte real igual a 1/2, la hipótesis de Riemann (HR) no se considerará establecida hasta que se haya producido una demostración analítica.

Hoy sabemos que la hipótesis de Riemann es verdadera para los primeros diez billones de ceros. Si bien estos cálculos no prueban la hipótesis, constituyen información al respecto; en particular, nos dan una medida de confianza en los resultados que se han demostrado suponiendo la validez de HR. Pero la matemática es más que demostraciones. De hecho, una considerable cantidad de personas que se ganan la vida "haciendo matemática" no tienen como plan encontrar demostración ninguna; sino más bien resolver problemas aproximados con cualquier grado de exactitud o certeza que se requiera. Mientras que la prueba sigue siendo el  "estándar de oro" definitivo para la verdad matemática, las conclusiones alcanzadas sobre la base de evaluar las pruebas disponibles han sido siempre un componente válido de la actividad matemática. En buena parte parte de la historia de la disciplina, se encontraron importantes limitaciones a la cantidad de evidencia que se podía recopilar, pero eso cambió con la llegada de la era de la computadora.

Por ejemplo, la primera publicación del cálculo de los ceros de la función zeta de Riemann se remonta a 1903, cuando J.P. Gram presentó los primeros 15 ceros (con parte imaginaria inferior a 50).

"Matemática experimental" es el nombre que generalmente se da al uso de una computadora para ejecutar cálculos -en ocasiones solo con propósito de ensayo y error- en la búsqueda de patrones para identificar números y sucesiones particulares, para reunir evidencia en apoyo de afirmaciones matemáticas específicas, que puedan surgir por medios computacionales.

Si los antiguos griegos (y las otras civilizaciones primitivas que abordaron por vez primera el tren de la matemática) hubieran tenido acceso a las computadoras, es probable que la palabra "experimental" en la frase "matemática experimental" sería innecesaria; los tipos de actividades o procesos que hacen que una determinada actividad matemática sea "experimental" se verían simplemente como matemática. ¿Sobre qué base hago esta afirmación? Basta observar lo siguiente: si se elimina de mi descripción anterior el requisito de que se use una computadora, ¡el restante describiría con exactitud lo que la mayoría -si no todos- los matemáticos han estado haciendo siempre, durante gran parte de su actividad profesional!

Entre los lectores de este artículo -quienes estudiaron matemática en la escuela secundaria o en la universidad, pero que no fueron matemáticos profesionales- muchos encontrarán sorprendente este último párrafo, pues ésa no es la imagen de la matemática  que se les presentó durante sus estudios (imagen cuidadosamente elaborada). Pero si dan un vistazo a los cuadernos privados de casi cualquiera de los grandes matemáticos, encontrarán página tras página de experimentación, de prueba y error (simbólica o numérica), cálculos exploratorios, conjeturas formuladas, hipótesis examinadas, etc.

Esta visión de las matemáticas no es común y la razón de ello es que hay que escudriñar el trabajo privado (inédito durante su carrera) de los grandes, para encontrar estas cosas (en sus portafolios). En cambio, en su trabajo publicado lo que se descubrirá son afirmaciones precisas de hechos verdaderos, establecidas por pruebas lógicas, basadas en axiomas que pueden ser, pero a menudo no lo son, indicados en la obra definitiva.

La matemática es casi universalmente considerada, y comúnmente retratada, como la búsqueda de la verdad (matemática) pura y eterna; debido a ello es fácil entender por qué el trabajo publicado de los grandes de la disciplina se podría considerar componente fundamental de lo que realmente es la matemática. Pero al hacer tal identificación se está pasando por alto una frase clave: "la búsqueda de". La matemática no es, y nunca ha sido, simplemente el producto final de la búsqueda; el proceso de descubrimiento es (lo ha sido por siempre) una parte integral de la disciplina. Como el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss escribió a su colega Janos Bolyai en 1808: "No es el conocimiento, sino el acto de aprender; no la posesión, sino el proceso para llegar allí, lo que otorga el mayor disfrute".

De hecho, Gauss era definitivamente un "matemático experimental" de primer orden. Por ejemplo, su análisis -siendo aún un niño- de la distribución de los números primos, lo llevó a formular lo que ahora se conoce como el teorema de los números primos, un resultado que no se demostró hasta 1896, más de 100 años después de que el joven genio hiciera su descubrimiento experimental.

Durante la mayor parte de la historia de las matemática, la confusión de la actividad matemática con su producto final fue comprensible: después de todo, ambas actividades eran realizadas por el mismo individuo, utilizando lo que para un observador externo eran esencialmente las mismas actividades: contemplar una hoja de papel, pensar profundamente y escribir garabatos en ese papel. Pero tan pronto como los matemáticos comenzaron a usar computadoras para realizar el trabajo exploratorio, la distinción se hizo evidente; especialmente cuando el matemático solo pulsaba la tecla para iniciar el trabajo experimental y luego salía a almorzar, mientras el ordenador hacía lo que quería. En algunos casos, lo que esperaba el matemático a su regreso era un nuevo "resultado", algo que nadie había sospechado hasta ahora y que no tenía ni idea de cómo probarlo.

Lo que hace a la matemática experimental moderna diferente (como actividad profesional) de la concepción y la práctica clásicas de la matemática es que el proceso experimental no se considera como la preparación de una demostración, para ser relegado a los cuadernos privados y quizás estudiado con fines históricos sólo después de que se haya obtenido la demostración. Más bien, la experimentación es vista como una parte significativa de la matemática por derecho propio -para ser publicada y considerada por otros- aparte de (característica nada despreciable) una contribución a nuestro conocimiento matemático general. En particular, esto da un estatus epistemológico a afirmaciones que, aunque apoyadas por un cuerpo considerable de resultados experimentales, aún no han sido formalmente probadas, y en algunos casos nunca pueden ser probadas. (Podría incluso suceder que un proceso experimental produzca una prueba formal. Por ejemplo, si un cálculo determina que cierto parámetro p, del que se sabe que es un número entero, está entre 2,5 y 3,784, eso equivale a una prueba rigurosa de que p = 3 .)

Cuando los métodos experimentales (usando computadoras) empezaron a penetrar la práctica matemática en la década de los 70, algunos matemáticos cantaron "foul", diciendo que tales procesos no deberían ser aceptados como matemáticas genuinas, que el verdadero objetivo debería ser una prueba formal. Curiosamente, tal reacción no habría ocurrido un siglo o más antes, cuando Fermat, Gauss, Euler y Riemann pasaron muchas horas de su vida realizando cálculos mentales para determinar "verdades posibles" (muchas, no todas ellas, fueron demostradas posteriormente). El surgimiento de la noción de demostración como el objetivo único de la matemática se produjo a finales del siglo XIX y principios del XX, cuando los intentos de entender el cálculo infinitesimal llevaron a la comprensión de que el significado de conceptos intuitivos básicos como función, continuidad y diferenciabilidad era altamente problemático y, en algunos casos, conducían a contradicciones aparentes. Frente a la incómoda realidad de que sus intuiciones fundamentales pudieran ser inadecuadas o sencillamente engañosas, los matemáticos comenzaron a insistir en que los juicios de valor estarían ahora relegados a la charla del receso en la sala común de la facultad de matemática de la universidad y nada sería aceptado como legítimo hasta que se hubiera demostrado formalmente.

Lo que hizo que el péndulo regresara para incluir (abiertamente) los métodos experimentales, fue en parte pragmático y en parte filosófico. (Obsérvese la palabra "incluir": la introducción de los procesos experimentales de ninguna manera elimina las demostraciones.)

El factor pragmático detrás del reconocimiento de las técnicas experimentales fue el crecimiento del poder de las computadoras, la búsqueda de patrones y la acumulación de grandes cantidades de información en apoyo de una hipótesis.

Al mismo tiempo que la creciente disponibilidad de computadoras -cada vez más baratas, más rápidas y potentes- resultó irresistible para algunos matemáticos, hubo un cambio significativo -aunque gradual- en la forma en que los matemáticos consideraban su disciplina. La filosofía platónica de que los objetos matemáticos abstractos tienen una existencia definida en algún ámbito más allá de lo humano (lo que convierte la tarea del matemático en revelar o descubrir verdades eternas e inmutables acerca de esos objetos) dio paso al reconocimiento de que la disciplina es producto humano, el resultado de un tipo particular de pensamiento del hombre.

El giro del platonismo hacia la visión de la matemática como otro tipo de pensamiento humano acercó mucho más la disciplina a las ciencias naturales, en las que el objeto no es establecer la "verdad" en un sentido absoluto sino analizar, formular hipótesis y obtener evidencia que apoye o niegue una hipótesis particular.

De hecho, como lo expresó el filósofo húngaro Imre Lakatos en su libro "Proofs and Refutations" (1976), publicado dos años después de su muerte, la distinción entre matemática y ciencia natural -como se acostumbraba- fue siempre más aparente que real, de hecho era resultado de la moda entre los matemáticos de suprimir el trabajo exploratorio que generalmente precede a la prueba formal. A mediados de los años noventa, se estaba haciedo común "definir" la matemática como una ciencia: "la ciencia de los patrones".

El clavo final en el ataúd de lo que podríamos llamar "platonismo duro" fue impulsado por la aparición de demostraciones por computadora, cuyo primer ejemplo realmente importante fue la demostración en 1974 del famoso teorema de los cuatro colores, una afirmación que hasta el día de hoy es aceptada como un teorema únicamente sobre la base de un argumento (en realidad, en estos momentos hay por lo menos dos argumentos diferentes) del cual una parte significativa es realizada, por necesidad, mediante un computador.

El grado en el que la matemática ha llegado a parecerse a las ciencias naturales puede ilustrarse con el ejemplo que ya he citado: la hipótesis de Riemann. Como ya he mencionado, la hipótesis ha sido verificada computacionalmente para los diez billones de ceros más cercanos al origen. Pero todo matemático estará de acuerdo en que esto no equivale a una prueba concluyente. Supongamos ahora que la próxima semana un matemático publica en internet un argumento de quinientas páginas que alega como demostración de la hipótesis. El argumento es muy denso y contiene varias ideas nuevas y muy profundas. Pasan varios años, durante los cuales muchos matemáticos de todo el mundo examinan la prueba en cada detalle, y aunque descubren (y continúan descubriendo) errores, en cada caso ellos o alguien más (incluyendo el autor original) puede encontrar una corrección. ¿Cuál es el punto en el que la comunidad matemática en su conjunto declara que la hipótesis ha sido realmente probada?Incluso entonces cabe preguntar: ¿qué considera más convincente: el hecho de que hay un argumento -que usted nunca ha leído y no tiene intención de leer- para el cual ninguno de los cientos de errores encontrados hasta ahora han resultado ser fatales, o el hecho de que la hipótesis se ha verificado computacionalmente (y, supongamos, con certeza total) para 10 billones de casos? Diferentes matemáticos darán respuestas diferentes a esta pregunta, pero tales respuestas son meras opiniones.

Dado el importante número de matemáticos que en estos días han aceptado el uso de métodos computacionales y experimentales, las matemáticas han crecido hasta parecerse mucho más a las ciencias naturales. Algunos dirán que simplemente es una ciencia natural. Si es así, a pesar de ello permanece y siempre permanecerá -lo creo de manera fervorosa- como la más segura y precisa de las ciencias. El físico o el químico deben confiar en última instancia en la observación, la medición y el experimento para determinar lo que se debe aceptar como "verdadero", y siempre existe la posibilidad de una observación más precisa (o diferente), una más precisa (o diferente) medida, o un nuevo experimento (que modifica o revierte las "verdades" previamente aceptadas). El matemático, sin embargo, tiene la pétrea noción de la demostración como árbitro final. De acuerdo: ese método no es (en la práctica) perfecto, sobre todo cuando se trata de pruebas largas y complicadas, pero proporciona un grado de certeza al que las ciencias naturales rara vez se aproximan.

Entonces, ¿qué tipo de cosas hace un matemático experimental? (Más concretamente, ¿qué tipo de actividades hace un matemático que puedan clasificarse como "matemáticas experimentales"?). Podemos nombrar una cuantas:

     Cálculo simbólico utilizando un sistema de álgebra computacional como Mathematica o Maple.
     Métodos de visualización de datos.
     Métodos de relaciones entre enteros, como el algoritmo PSLQ.
     Aritmética de números enteros y de punto flotante de alta precisión.
     Evaluación numérica de alta precisión de integrales y suma de series infinitas.
     Aproximaciones iterativas a funciones continuas.
     Identificación de funciones, basadas en características gráficas.

¿Quieres saber más? Lo hice como un matemático que no ha trabajado activamente de manera experimental (aparte del familiar ensayo y error que juega con las ideas que son parte integral de cualquier investigación matemática), y recientemente tuve la oportunidad de incrementar mi aprendizaje colaborando con una de las figuras más destacadas del área -el matemático canadiense Jonathan Borwein- en un libro introductorio sobre el tema. El resultado fue publicado recientemente por A.K. Peters: "The Computer as Crucible: An Introduction to Experimental Mathematics
" ("La computadora como crisol: una introducción a la matemática experimental"). La columna de este mes es un resumen de ese libro.

Ambos esperamos que lo disfrutes.

viernes, 15 de abril de 2016

El hombre que conoció el infinito


Matemática y física son claves culturales imprescindibles del siglo XXI. Lo fueron en el siglo XX, pero algo -sociológico quizás- decidió para ellas, con visión elitista, una separación del ciudadano medio. Ese algo hizo que al siglo le diera por pensar que serían temas de poco o nulo interés, que solo unos cuantos rezagados pondrían sus ojos en productos de esta naturaleza, aspirantes a obras de arte.

El inicio de este siglo se muestra más prometedor al respecto. Ya Hawking y Turing recibieron lo suyo, con el suficiente mérito para estar en la tribuna de los óscares; al primero con La teoría de todo y al segundo con Código Enigma, película que en inglés se conoció como The imitation game (debo decir que es uno de los pocos casos en que el título en español respeta más el argumento de la película que el título original). Ahora le toca nada más y nada menos que al extraordinario Srinivasa Ramanujan, con El hombre que conoció el infinito, del director Matthew Brown. Veo a Dev Patel (Slumdog millionaire, El mejor exótico Hotel Marigold) en este trailer y no se me ocurre que se pudiera haber hecho otra elección; la composición fotográfica muestra el científico a la izquierda y el actor a la derecha.

Para entender un poco las motivaciones de esta película y -tal como corresponde a una cinta histórica- comentar algunas cosas de su posible argumento (por supuesto, yo no he visto la película... la esperaré con impaciencia), quiero poner a continuación la transcripción de un micro radial que este servidor escribió tres años atrás. Lamento no disponer del audio del micro pues hubiera colocado un enlace para él. No obstante he de aclarar que el texto que sigue tiene algunos añadidos respecto al original, necesariamente breve para ajustarse a los cinco minutos del micro.

SRINIVASA RAMANUJAN
Gotfried Hardy, en la foto a la derecha (representado por Jeremy Irons en la película), fue uno de los matemáticos más importantes del siglo XX. No obstante, interrogado acerca de la trascendencia de su obra, afirmó que una de las pocas cosas buenas que había hecho en su vida fue trabajar al lado de Srinivasa Ramanujan. ¿Cómo se hizo este Ramanujan acreedor a tan grande reconocimiento? Pues bien, nuestro personaje fue un hindú que murió en 1920, a la prematura edad de 32 años. Pero también su talento matemático fue prematuro.

Siendo un adolescente que crecía en una pequeña población, alejada de los grandes centros culturales de la época, ignoraba el movimiento matemático del momento. Sin embargo, en la escuela secundaria aprendió a resolver la ecuación de tercer grado mediante la fórmula habitual. Al no conseguir en ninguna parte la solución de la de cuarto grado, emprendió la búsqueda por sí mismo hasta que llegó a ella lo que, por supuesto, lo animó a buscar una fórmula para la de quinto grado. No tuvo éxito. De hecho, no podía tenerlo. Algunos años atrás Abel y Galois habían demostrado la imposibilidad de encontrar tal fórmula que, ellos mismos, alguna vez habían buscado también infructuosamente.

Pero la epifanía matemática de Ramanujan vendría con el descubrimiento de un pequeño librito: la Sinopsis de resultados elementales de matemática pura de Carr. Es a partir de esta lectura que nuestro héroe hindú, descubre el mundo de las sumas, productos y fracciones infinitas a las que su particular talento añadiría tantas notas armoniosas.

Su extraordinario genio hubiera quedado en un resguardo casi provincial si no fuera por la afortunada decisión de enviar una carta a Hardy, matemático inglés que trabajaba en su misma rama de conocimientos. Hardy reconoció el tesoro y lo llevó a su lado, creando una de las más fructíferas uniones intelectuales que la ciencia haya conocido jamás.

Ramanujan fue toda su vida un hombre de salud delicada, a lo que se añadía el uso de esquemas muy restringidos de alimentación, producto de su formación religiosa. Esto acabó con su vida muy pronto, pero aún en su lecho de enfermo produjo una anécdota matemática muy popular en el medio, tanto que casi podría llamarse "la anécdota 1729".

Una tarde que Hardy le visitaba éste le hizo notar a Ramanujan (quizás para animar a un enfermo terminal) que la placa del taxi que lo había transportado le parecía insípida y Ramanujan lo interrogó acerca del número. La respuesta fue 1729. Con un brillo inusitado en sus ojos de enfermo, Ramanujan contestó: No es insípido: es el menor número expresable como suma de dos cubos de dos maneras distintas. En esta respuesta, aunque no lo parezca hay dos afirmaciones matemáticas importantes; una es relativamente sencilla: 1729 es igual a 1728+1, pero 1728 es el cubo de 12  y 1 es su propio cubo; además 1729 también es igual a 1000 (que es el cubo de 10) más 729 (que es el cubo de 9). La otra afirmación exige algo de esfuerzo matemático: es el menor número que tiene esta propiedad. Pero este esfuerzo posiblemente es algo que no todo enfermo terminal esté dispuesto a dar.

sábado, 19 de diciembre de 2015

Teorema de Pitágoras: pequeña crónica de una negación

Para Anizabel Pérez... porque la curiosidad alimenta al gato.


La historia de la matemática tiene sus humoradas; algunas de ellas hasta un tanto crueles. Hay una larga tradición de equívocos en la autoría de ciertos resultados importantes: el teorema que lleva el nombre de Fulano, ya el tal Fulano lo encontró así o lo sabía de Mengano; sobran ejemplos. En el caso específico de Pitágoras (supuestamente nacido en Samos en el siglo V a. C.), el asunto es más profundo aun: hay quienes han dudado hasta de la existencia de Pitágoras, pero aquellos que aseguran su existencia no dejan de mencionar la ambigüedad -o peor aun, difuminación- histórica entre la obra de este pensador y la producción intelectual de la escuela que -según se dice- lideró.

Preguntado el transeúnte desprevenido por algo que le recuerde la palabra Pitágoras, de seguro responderá el teorema de Pitágoras aunque, con un alto índice de probabilidad, no querrá ser interrogado acerca de su contenido. Se sorprenderá de saber que el dichoso teorema podría no ser ni de Pitágoras ni pitagórico: todas las fuentes que lo asignan al sabio o a su escuela son harto posteriores al período de existencia del nativo de Samos. Pero no solo eso: hay muchas pruebas históricas de que el teorema o casos particulares de él eran conocidos por civilizaciones anteriores (Babilonia, China, India), de manera que los pitagóricos pudieron haber sido solo receptores y, por supuesto, difusores.

Si fuera éste el caso, tampoco podría hacerse demérito de su esfuerzo. El ejercicio matemático valora los enfoques originales y el legado pitagórico recogido hasta ahora abunda en originalidad. Tanto así que, en el conjunto de la obra pitagórica, el teorema que nos ocupa es casi obra menor; su profundidad palidece ante aportes del tamaño de los problemas de aplicación de áreas o la insondable teoría de los inconmensurables, cuya presencia -expresada en muy modernos términos- impregna hoy en todas sus líneas la rama de la matemática conocida como Análisis. Esta difícil teoría fue uno de los problemas más acuciantes de la antigüedad matemática griega y no pudo ser resuelto por sus proponentes; hubo que esperar hasta un discípulo de Platón, llamado Eudoxo, para que el velo se descorriera.

Es más, pudieron haber sido los de la caverna (Pitágoras enseñaba dentro de una cueva) los  precursores de un pecado matemático, que los practicantes de la disciplina no suelen perdonar aunque todos lo apliquen: el uso argumental de lo no demostrado. Explico: se supone que la matemática es una cadena de demostraciones basada en cosas cuya certeza se ha establecido de antemano; si algo no se sabe de seguro, no es válido utilizarlo como argumento en una demostración. Pero algunas veces el convencimiento interior puede más y se decide correr el riesgo. Casi siempre se hace la salvedad, pues es como barrer la casa con escoba prestada; no obstante lo importante es haberlo dicho yo primero: en matemática (o en la ciencia en general) los segundos inventores no tienen derechos. Parece que los pitagóricos tenían una demostración del teorema que necesitaba de sus indemostrados inconmensurables.

Creo que he de decir la motivación de este post. Desde hace algún tiempo buscaba la colaboración de un artesano en la elaboración de un juguete -pensado para mi nieto de siete años- basado en dos de las más de mil demostraciones del teorema de Pitágoras (quizás el más demostrado de la historia). Vano fue el intento, tal vez porque también les pareció vana la intención; así que decidí utilizar mis torpes manos en el asunto, con ayuda carpinteril y producir los rompecabezas que se ven en la figura de arriba, al inicio del post. A todas estas, hasta ahora ni siquiera he tenido la delicadeza de recordar el contenido del teorema al lector ajeno: se trata de un triángulo rectángulo y de construir sobre sus tres lados sendos cuadrados, resultará que el cuadrado construido sobre la hipotenusa (el lado mayor del triángulo) será igual a la suma de los construidos sobre los catetos (los otros dos lados). Extraídos del juguete para hacer la figura de la derecha, el cuadrado verde agua es la suma de los cuadrados verde intenso. El final de este párrafo debe referir la motivadora curiosidad de Anizabel Pérez al ver la foto del juguete en Facebook y su ganado impulso a reencontrarse con algo dejado de lado hace unos cuantos años atrás; una muestra de que no todo aquel que sigue el camino de las humanidades lo hace por temor a la matemática.



Vuelvo entonces a la historia (parcial, por supuesto) de las demostraciones del teorema. Cuando dos siglos después del nacimiento del pitagorismo, el alejandrino Euclides decide escribir la obra cuya estructura teórica es lo más parecido en la antigüedad a la que hoy exigimos a cualquier obra matemática que se respete, se encuentra con el problema de cómo exponer el teorema de Pitágoras sin incurrir en el propio pecado de los pitagóricos. El asunto es que esta obra euclidiana -denominada Elementos- estaba separada en trece libros y el teorema de Pitágoras cerraba el primero de los trece, mientras los inconmensurables no aparecían hasta el quinto volumen. En un alarde de ingeniosidad, el alejandrino mantiene intacta la idea pitagórica, pero modifica el método para llegar a ella. El esfuerzo le significa el uso de una figura tan complicada como la de la izquierda; complicación aparente pues la idea resulta ser sencilla, aunque no penetraré en ella; baste decir que las líneas interiores comparan triángulos con rectángulos y separan el cuadrado mayor en dos rectángulos iguales a los cuadrados menores. (Por cierto, quien guste de los detalles puede leer mi obra Historia de la matemática: Pitágoras y el pitagorismo, título que incluyo como un enlace a ella y cuya portada preside este párrafo... Perdonen la cuña.) Esta demostración le gana a Euclides el halago del historiador matemático Proclo, en el siglo V d. C, en su libro Comentarios al primer libro de los Elementos de Euclides, obra que ha sido una fuente importante de la historia de la matemática: Proclo cita en ella muchas obras que hoy están perdidas y es él la única referencia de este extravío.

Pero los chinos estuvieron antes, ya lo dijimos. Los dos primeros cuadrados del juguete contienen la llamada demostración china del teorema de Pitágoras: son dos cuadrados iguales entre sí, pues sus lados respectivos se obtienen concatenando longitudes iguales a los catetos del triángulo rectángulo (vale observar que todos los triángulos rectángulos son rojos, aunque no siempre del mismo tono). Si de iguales substraigo iguales los resultados que se obtengan serán iguales. Por lo tanto, de ambas figuras puedo quitar cuatro triángulos rectángulos iguales. ¿Qué queda? El cuadrado verde claro a la izquierda y los verde oscuro a la derecha: ¡el primero igual a la suma de los segundos! ¿Necesita alguien algo más fácil? Ingeniosos los chinos, ¿no? Llegaron a una de las claves más importantes del pensamiento humano así como un niño que juega a los rompecabezas.

En este punto me inquieta el historiador T. L. Heath, quien afirma que esta demostración no podría hacer sido pitagórica en tanto carece de "sabor griego". Más allá de la duda que pueda generar el reconocimiento de este supuesto sabor griego, el segundo libro de los Elementos de Euclides -calificado por algunos como el más pitagórico de los trece- no es más que un muestrario de proposiciones cuyas demostraciones consisten en el armado y rearmado de piezas iguales en formas distintas: un catálogo de rompecabezas, pues. De manera que tímidamente asomo mi desacuerdo con el gran maestro: el teorema de Pitágoras pudo haber terminado el libro I o comenzado el II en este mismo estilo. Proclo no se habría maravillado menos.

Posiblemente inspirado por esta demostración china, el tercer cuadrado del juguete contiene también su propia demostración, solo que un tanto más oculta, menos clara. El juego, en este caso, implica algo de cálculo (sacar cuentas). El área del cuadrado puede determinarse observando que su lado es la hipotenusa del triángulo rectángulo. Pero hay otra forma de hacer el cálculo: sumando las áreas de los cuatro triángulos rectángulos (rojos, para variar) y la del cuadrado azul central. Es este cuadradito el que nos conducirá al álgebra de nuestros primeros años de bachillerato. Para un niño de siete años, por ahora es solo un rompecabezas.

Termino con una curiosa nota política. Ciertamente ha habido matemáticos presidentes de su país, este enlace dice algunas cosas interesantes al respecto. Pero con relación al teorema de Pitágoras la historia recoge una demostración del presidente número 20 de los Estados Unidos: James Garfield. Con astucia de gato -propia de su apellido- este caballero, matemático aficionado, enlazó dos triángulos rectángulos iguales, logrando que entre ellos pudiera insertarse otro triángulo rectángulo de catetos iguales. La figura que así se forma es un trapecio, cuya área puede calcularse de dos maneras: (1) usando la famosa fórmula semisuma de las bases por la altura y (2) sumando las áreas de los tres triángulos rectángulos. Agudo y simple. La vida de Garfield terminó en el ejercicio del cargo, como producto de una agudeza y de una torpeza: la agudeza de una bala que le metieron en el tórax y la torpeza de un medicucho que extendió la herida en vez de cerrarla. Posiblemente le recordemos más los matemáticos que los políticos.

martes, 24 de noviembre de 2015

Acerca de un injusto olvido

Clásico es una palabra que se puede usar con muchos sentidos y significados. Por ejemplo, si hablamos de creación intelectual, ¿cuándo comenzamos a llamar clásica a la obra de un autor determinado? La visita al diccionario es de ayuda luego de un cuidadoso proceso de descarte; el DRAE -por nombrar algo- nos presenta diez acepciones del término, de las cuales -dentro de aquellas que entran en contexto con el tema que acabamos de plantear- destacamos:

3. adj. Dicho de un autor o de una obra: Que se tiene por modelo digno de imitación en cualquier arte o ciencia. U. t. c. s. m.

4. adj. Perteneciente o relativo al momento histórico de una ciencia en el que se establecen teorías y modelos que son la base de su desarrollo posterior.

Clásico está entonces asociado a la permanencia en el tiempo. Permanencia que significa la presencia constante de seres humanos dispuestos al disfrute o uso de la obra a pesar del paso de la Historia. El Quijote es y seguirá siendo lectura para todas las generaciones, Beethoven se seguirá oyendo mientras haya oidos sensibles sobre la Tierra, Chaplin seguirá haciendo reír por encima de los grandes avances técnicos del cine, los Beatles parecen también estar atados a la eternidad (si es que la eternidad existe). Pero nuestra premisa de permanencia habla de "disfrute o uso de la obra" y es en este último punto -el del uso- en el que entra el clasicismo de algunas obras científicas. Cruelmente, este detalle es el responsable del olvido del autor de la obra: queda el trabajo, pero el nombre de quien lo hizo se diluye en el tiempo. En esta categoría de injustificado olvido se encuentra el nombre de Simon Stevin (1548-1620).
Nacido en Brujas, la capital de Bélgica (también se habla de él como Simón de Brujas), a Stevin se le reconocen varias profesiones, entre las que destacan ingeniero y matemático. Por supuesto que a nosotros viene por lo segundo, mas lo que queremos destacar de su obra es algo tan del día a día que con ello tienen que ver el vendedor ambulante, el obrero, el médico y el matemático más eminente: hablamos de los decimales, esos dígitos que se escriben después de la coma o el punto y que representan la parte fraccionaria  de un número. Del paso de uso habitual a la condición de naturalidad solo media la costumbre, esto es, al acostumbrarnos a algo se nos hace tan natural que no podemos pensar que alguna vez haya sido distinto a cómo lo conocemos. Pero algunas naturalidades están llenas de carga histórica. Revisemos el camino recorrido por la nuestra.

No le fue fácil a la Europa medieval entrar a la numeración mal llamada arábiga (en realidad se debe a los indios), ésa de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 a la cual se le añade el 0 que -contradictoriamente- es un símbolo tan lleno de contenido que asombra su indicación de carencia. El cálculo -o mejor: el sacar cuentas- no era una actividad cotidiana y si necesidad hubiera de ella había profesionales -los calculistas o abaquistas- que podían hacer el trabajo. Estos calculistas se la llevaban bien con los números romanos; después de todo, llegar a una multiplicación significaba un exagerado refinamiento, así que las sumas y restas eran casi todo lo necesario. Sumar en números romanos es cosa fácil si cambiamos ligeramente alguna regla, a la que pudiéramos llamar propiedad substractiva, esto es escribir un número mediante la resta... es más fácil con un ejemplo: LIV significa para nosotros 54, pues el I se resta del V. Esta propiedad se puede cambiar por una aditiva, con el requisito adicional de que ningún símbolo debe escribirse más de cuatro veces, así nuestro 54 romano quedaría LIIII.

Supongamos ahora que queremos sumar este LIIII (54) con otro número, digamos XXXVI (36). La regla es simplemente agrupar todos los símbolos de ambos números, lo que resulta en LXXXVIIIII; pero los cinco I dan un V por lo cual la cosa quedaría como LXXXVV y ahora los dos V dan un X y finalmente tendríamos LXXXX. Decimos "finalmente" pues de esta manera puede pasarse a la tradicional forma substractiva para que nos dé el XC (90) que queríamos obtener. La resta es algo más quisquillosa y no creo que haya muchos lectores interesados en la experiencia, pero puede ser la curiosidad una fuerza tan iresistible que ahorro el trabajo al curioso dando el correspondiente enlace a Wikipedia.

Farragoso, ¿no? Algunos pensadores tomaron temprana nota de este asunto. Entre ellos el clérigo Gerberto de Aurillac (946-1003), quien cruzaría del siglo X al XI como el papa Silvestre II (el primer papa francés de la historia, en un corto papado de cuatro años), pero años antes de su pontificado proponía novedosos sistemas de cálculo, como un ábaco de su propia invención o el sencillo proceso posicional que la numeración indoarábiga portaba. No fue suficiente su enorme prestigio, era aún muy temprano para despertar a la Europa que aun dormía bajo el infujo aritmético de Nicómaco y Boecio, y seguiría en su sueño por cuatrocientos años más, lapso en el cual otra débil luz encendida por Leonardo de Pisa o Fibonacci (c. 1170-1250) repetiría -quizá sin saberlo y también infructuosamente- el esfuerzo del religioso neomilenario.

No obstante, ya cerca del final del siglo XV -ése que terminaría mostrando a los de piel pálida territorios y seres humanos desconocidos- las crecientes necesidades del comercio obligaron a la sensatez y para ese entonces ya la numeración indoarábiga tenía carta de residencia europea. Pero persistía un problema: al realizar pesos o medidas (en matemática ambos son medidas) había que ir más allá de los números enteros. A lo mejor una vaca producía diez cántaras de leche más un resto que era menor que una cántara; ¿cómo determinaban vendedor y comprador el precio de este resto? Ya desde la antigüedad babilónica se manejaban las fracciones (esas que nos han malvendido alguna vez como quebrados) y, por supuesto, los europeos las incorporaron para cubrir esas necesidades, dividiendo las unidades de medida en partes iguales de varias formas distintas. Así, un recipiente de un medio de cántara podía ayudarnos a ver que el sobrante era ligeramente mayor de 1/2, pero todavía quedaba algo de leche por medir, para la cual quizás podría usarse un recipiente de un quinto de cántara y resultaban dos de ellos, por lo que finalmente la cantidad de leche era de 10+1/2+2/5 de cántara. Si todavía sobraba algo, lo más seguro era que se dejaba de ese tamaño para aligerar el trabajo.

Si esta producción de leche había que incorporarla a la de otra vaca que había dado 12+3/5+2/7 de cántara, se planteaba el problema de la totalización de las fracciones, pues totalizar los enteros ya no era mayor problema. (Es un decir: hasta el siglo XIX aun había calculistas; hombres tan cultos como Montaigne manifestaron públicamente no tener niguna habilidad de cálculo. Hoy por hoy... pues... ummh... hay sus casos.) Por supuesto que se conocían las reglas de manejo de las fracciones, pero éstas son sumamente pesadas, como lo manifiesta todo el que pasa por los famosos quebrados. (Aun más: la forma en que se les enseña actualmente los despoja de todo contenido, magnificando así la pesadez.) Si se dispusiera de alguna manera de representar estas fracciones por números enteros, sin duda que la tarea se facilitaría.

Vinieron entonces en ayuda los antiguos babilónicos, quienes habían utilizado consistentemente el sistema de numeración de base 60, ese mismo que usa todo el mundo para calcular el tiempo (horas, minutos y segundos), pero también para medir ángulos, cosa muy necesaria para una época que se alimentó de la navegación hacia los nuevos y viejos territorios del mundo. Los ángulos servían para medir en el cielo, al cual se consideraba una esfera, se medían (aun se hace) en grados (º), minutos (') y segundos ("). La leche que dan las vacas también se puede medir (babilónica o sexagesimalmente) en cántaras, minutos y segundos, donde un minuto es la sesenta-ava parte de una cántara y un segundo la sesenta-ava parte de un minuto. Por ejemplo, de las vacas anteriores la primera da 10c 55' y la segunda 12c 53' 8". (Seguro que alguno se pregunta por qué. Para contestar no es mala idea colocarse en los zapatos del hombre del medioevo. Bueno... sacudiendo la pereza.) Para totalizar, se podía escribir la operación así:
sumando las cántaras, sus minutos y segundos por separado. Claro... cuando uno ve la columna de los minutos se da cuenta de inmediato que 55 más 53 no es 48, sino 108... es precisamente ésa una de las ventajas de la escritura sexagesimal: 48 es el exceso de 108 respecto a 60, entonces escribo los 48 minutos y llevo (¡qué verbo tan pícaro!) los sesenta que son una cántara; cuando sume las cántaras el 22 se convertirá en 23 por la cántara llevada.

¡Ingenioso!, ¿no? Así pasa siempre que conocemos algún instrumento de cálculo antiguo: nos maravilla su ingeniosidad. Sin embargo, lo más interesante y más profundo del asunto no lo hemos considerado todavía: hemos evitado el cálculo con las fracciones y todo se ha resuelto mediante números enteros; las fracciones están allí, pero solo nominalmente, no estorban el cálculo. Es en este momento que entra nuestro amigo Stevin en el relato, pues aun el sistema sexagesimal le parecía complicado y concibió la maravillosa idea de considerar fracciones decimales en vez de sexagesimales. Las fracciones decimales son aquellas cuyo denominador es la unidad seguida de ceros (perdónenme los amigos matemáticos por no decir las potencias de 10), como 1/10, 1/100, 1/1000, etc.

Stevin vio en estas fracciones la solución definitiva al problema de operar con números que llevaran parte fraccionaria. Bueno es decir que había antecedentes, por ejemplo D. E. Smith reporta en su libro Rara Arithmetica un libro de 1492 (el mismo año del descubrimiento de América) en el cual se escriben los números mediante fracciones decimales separando la parte entera de la fraccionaria mediante un punto, tal como lo hacen hoy las modernas calculadoras. Pero todo esto no era más que un asunto de presentación, pues no llevaba explícita la carga operativa que genialmente notó el flamenco quien, para explicar su idea, escribió en 1585 un libro al que denominó La Disme, nombre que sugiere el carácter decimal del pensamiento que expone el texto. La influencia de La Disme en el curso de nuestra civilización es tan importante que esta obra debería tener tanta notoriedad como El Quijote o Macbeth, pero en realidad ni siquiera aparece el nombre en El Pequeño Larousse Ilustrado, aunque sí aparece su autor. (Hablo solo de notoriedad. Todos saben que El Quijote es notable, pero muchos ni siquiera han leído su primera página.) En La Disme, Stevin nos enseña a operar los números tal y como lo hacemos hoy, aunque con alguna diferencia de forma, que vale la pena exponer.

La idea inicial es ordinalizar los decimales, esto es, indicar el orden en que deben venir; para ello utiliza las denominaciones prima, segunda, tercera, etc. Así, nuestra primera vaca produce 10 cántaras más 7 primas, mientras que la segunda da 12 cántaras, 8 primas, 8 segundas, 5 terceras y un resto adicional que mejor dejamos secar. A la parte entera del número, Stevin la llama Comienzo (así con mayúscula) y, a falta de mejor orden, se le asigna 0. Entonces, las producciones de las vacas quedan de la siguiente manera


tal como deben representarse de acuerdo a lo establecido en La Disme. Para sumarlos, el flamenco dispone la operación de la siguiente manera:


un resultado con un Comienzo de 23 cántaras, 5 primas, 8 segundas y 5 terceras. Es de notar que las posiciones que el número no tiene se rellenan mediante ceros.

¡La democracia total! Planteado de esta manera, el cálculo de cantidades se convertía en algo tan mecánico que era cuestión de tener en la memoria algunos resultados básicos (lo que después fueron las famosas tablas) y llevar estos resultados parciales a operaciones mucho más generales con los números que se deseara o necesitara. No hemos descrito (ni lo vamos a hacer) la resta, multiplicación, división y hasta extracción de raíces, pero en esencia las proposiciones de La Disme son los procedimientos que hoy realizamos. (Digo mejor: deberíamos realizar. Nadie lo hace más allá del aprendizaje pues se dispone de calculadoras.) Todos estos procedimientos (menos la radicación) esperamos que sean conocidos por cualquier niño que sale de la escuela primaria vía sexto grado. Pero para esto se requirió mucho tiempo en el que hasta parte de la intelectualidad se resistió a este aprendizaje. Todavía hoy asombra que haya quienes presumen de conocimiento humanístico en la misma medida que lo hacen de ignorancia matemática.

No faltará quien reclame: ¡No, así no se suma hoy! Esos circulitos indicadores de orden nadie por aquí los ha visto. Razón tienen... en lo que respecta a los circulitos. Pocos años después del trabajo de Stevin, Juan Néper, el inglés inventor de los logaritmos, se planteó separar la parte entera (el Comienzo de Stevin) de las fracciones decimales mediante un punto (igual que en 1492, pero de seguro Néper no lo sabía), y sobreentender cada una de las posiciones decimales. Las operaciones se seguirían realizando tal como lo mostró Stevin o con variaciones menores:

Hoy no hay acuerdo sobre si debe separarse con un punto o una coma y en ello van hasta los orgullos nacionales; pero qué importa: todo el mundo -según parece- entiende el concepto y del concepto para allá solo falta ponerse de acuerdo en cómo escribir las cosas. Algún día nos pondremos de acuerdo.

jueves, 5 de noviembre de 2015

CASA DE ARENA: relatividad, poesía y soledad




Un largo lapso de silencio, una cansina caminata, un desierto amplio y riguroso, un rostro cansado, otro conforme y otro empecinado; he allí el comienzo de Casa de arena, la película que el director brasileño Andrucha Waddington  nos entregó en el año 2005. Quizás una casualidad, pero ese año hacía 100 de la publicación por Albert Einstein de su famosa teoría especial de la relatividad, la que juega un papel fundamental en esta película, pero poco reconocido por quienes la han comentado.

El tiempo -ese concepto que recibiría una sacudida tan fundamental en la teoría de la relatividad- es el verdadero protagonista de la película de Waddington. El tiempo es quizás la más sutil de las invenciones humanas. (La demagógica frase El tiempo de Dios es perfecto es brutalmente contradictoria: no puede tener Tiempo quien es absoluto, eterno y simultáneo; al tiempo lo necesitan los seres relativos, finitos y consecutivos... y quienes puedan pensar en él; a los animales no les hace falta y por tanto carecen de conciencia de tiempo.) Áurea (Fernanda Torres) es víctima fatal del tiempo; su voluntad no tiene la capacidad de cambiar su destino por mucho que su carácter se rebele ante la suerte escogida; también el azar la traiciona en la única oportunidad en que decide oponerse con aparente éxito a su circunstancia.

Llevada al desierto por un marido -Vasco de Sa (Ruy Guerra)- empeñado en la promesa de la prosperidad frente a la nada, Áurea tiene principalmente a la angustia como compañera para ver pasar los días. También lleva consigo a su madre María, representada por la imponente Fernanda Montenegro  de Estación central de Walter Salles. (Por cierto, en la vida real Fernanda Torres es hija de Fernanda Montenegro y esposa del director Andrucha Waddington.) Pero también lleva una compañía pasiva: en su vientre abultado va su futura hija, quien recibirá el nombre de la abuela y será representada por Camila Facundez en su niñez.

La atrevida concepción einsteniana colocó al tiempo como una de las patas del trípode que sostiene a la realidad física: junto con la materia y el espacio están ligados de una manera tan íntima, que se hace imposible separar cualquiera de ellos del trío y los cambios de uno cualquiera son necesariamente cambios de los otros dos; así, el tiempo deja de ser el absoluto que alguna vez quiso el marco newtoniano. Una de las consecuencias más sorprendentes de tan obnubilante punto de vista es la llamada paradoja de los gemelos, según la cual si uno de dos gemelos parte en viaje relativista a confines del Universo que ni siquiera avizoramos, a su regreso conseguirá que su hermano ha envejecido mientras él aún mantiene su lozanía juvenil. (Será difícil comprobar esto con seres humanos, pero ya las partículas subatómicas han hecho el trabajo por nosotros.)

Waddington nos maravilla haciendo poesía de la paradoja de los gemelos, en una bella escena de amor en la que un piloto de la Fuerza Aérea Brasileña (el teniente Luiz, representado de joven por Enrique Díaz y de viejo por Stenio García), comenta el fenómeno a la arrobada Áurea quien,  incapaz de comprender, pregunta dónde se desplazará el gemelo viajante, a lo que recibe como respuesta: En un cohete. Es éste apenas un pequeño detalle de la solidez del guión de Elena Soarez (quien concibió la historia junto al propio Waddinton y Luiz Carlos Barreto), pues al final de la película retorna la paradoja de una forma tan bella, que es mejor verla que leerla, por lo que optaré por el silencio.

No termina la historia de sorprendernos. El teniente Luiz es guía de una renombrada expedición científica: una de los dos que observó el fenómeno de la desviación de la luz por la masa del sol en el famoso eclipse de 1919, con el que Dyson y Eddington comprobaron -más allá de toda duda razonable- la teoría de la relatividad general que Einstein había entregado a la imprenta en 1915. (Estamos en el año 100 de esa memorable fecha.) Sí... la expedición fue a Brasil y, aunque la película no nos sitúe en el lugar exacto, no podemos reclamarle su ficción pues enmarca una historia de amor que quedará como memoria para los cincuenta años siguientes, al cabo de los cuales el Hombre pisaría la luna, coincidencialmente en un cohete. Nos sorprende que el guía pueda explicar a su amante con particular detalle el objeto de la expedición; resulta ser un militar muy informado científicamente para su tiempo. Pero estamos en plan de perdonar ficciones porque el amor siempre lo queremos vivir en los términos más fantásticos posibles. Y para eso está el cine: para envolvernos en un engaño que disfrutamos precisamente por aceptar de manera voluntaria hacernos cómplices de él.

Luiz fue la única posibilidad real de Áurea de abandonar el desierto que la aprisiona en su vastedad, pero la tragedia se interpone en su camino. En adelante su realidad será solo la arena y no habrá otra realidad más allá del horizonte que la arena impone. En el mismo momento amoroso que vive con Luiz, Áurea incluso desconoce que el mundo pasó por una atroz guerra durante los cuatro años anteriores, desde el comienzo de su propio confinamiento. A pesar de ello, mujer vital como es consigue en los brazos de Massu (joven, Seu Jorge; viejo, Luiz Melodia) -posiblemente el más inteligente del grupo de esclavos fugitivos que hicieron propiedad junto con Vasco de los áridos terrenos- el amor del que había quedado huérfana y que tanto necesitaba.

En adelante, nos deslumbran tres cosas: (1) la inteligencia del guionista al mantener coherencia entre pasado y presente, cambiantes sorpresivamente frente a los aturdidos ojos del espectador;  (2) la sabiduría del director al jugar un enroque actoral que metamorfoseaba a las mismas actrices en nuevos personajes y (3) la versatilidad actoral (de ambas Fernandas, pero sobre todo la Montenegro) que nos convence sin reservas que puede ser una vez la madre y otra vez la hija. No solo eso: llega incluso a ser la nieta, en un alucinate juego en el que dos generaciones se ven la cara en la misma escena representadas por la misma actriz. ¿Sería la paradoja de los mellizos la que convocó a tal alarde de cinematografía? Quién sabe, pero el resultado deja satisfecho al más exigente.

En el desenlace, el toque de ternura -ante tanto dolor y soledad- lo gana la aparición de la música, presentida desde escenas tempranas de la película. Pero, después de todo, la música no es más que una manifestación estética de la matemática del tiempo. De manera que hasta el final nos acompaña esta presencia.

lunes, 14 de septiembre de 2015

Recuento de una agradable jornada creativa

En el momento de recibir uno de los innumerables premios que ha ganado a lo largo de su vida, el actor Morgan Freeman afirmó -palabras más, palabras menos- que si el trabajo era algo desagradable, entonces él jamás había trabajado, pues nunca había hecho nada distinto de aquello que le gustaba. Se suele contraponer placer y trabajo: alguna máxima se ha empeñado en que el trabajo lo hizo Dios como castigo, de manera que son cosas radicalmente distintas decir Fulano está trabajando a Fulano está jugando. Pero lo absoluto siempre ha sido un imán de contradicciones y es muy fácil mostrar contraejemplos a esta idea: basta ver que hay gente que vive de jugar (y ganan por ello unas sumas fabulosas, de paso).

En la valoración del común de la gente, la matemática ha ganado fama de adusta; tal adustez hace entonces contrasentido con la idea de que pudiera ser divertida o, más aún, comparable con juego alguno. De nuevo nos encontramos con el eterno conflicto entre apariencia y parecencia: el matemático no hace otra cosa que jugar. (Claro: en ninguna parte del mundo gana las astronómicas sumas de jugadores en otras áreas y menos en este oscuro rincón de la Tierra, donde cualquier pauta cultural es sospechosa y ni siquiera se sabe para qué sirve un matemático.)
El matemático juega con objetos ideales, abstractos, elaborados por la mente y manejados únicamente por ella. (Suele sorprender a propios y extraños que toda esta abstracción se empeñe en conseguir lugares en el mundo concreto, sobre los cuales el estudio matemático ejerce cierto poder de predicción y control... pero esto es harina de otro costal.)

No debe sorprender, por tanto, que el juego en sí sea un objeto matemático... y efectivamente lo es; de hecho, hasta existe una teoría matemática que lleva el sugerente nombre de teoría de juegos. No hace falta ir tan lejos, sin embargo: cualquier juego puede motivar un problema matemático. (Por ejemplo: ¿cuál es el número posible de juegos distintos de la vieja o tres en raya.) Y hasta existen juegos hechos precisamente para que la gente aprenda matemática. Y esto último no es nada nuevo... es más, allí es donde quiero aterrizar. Porque resulta que, de un tiempo a esta parte, Tomás Guardia -joven matemático, profesor de la Universidad Central de Venezuela (UCV)- y este servidor se ocupan de un juego medieval llamado rithmomachia, que sería ocioso describir aquí ya que le hemos dedicado dos artículos: Rithmomachia: un juego serio (¡como todos los juegos!) y Rithmomachia: espíritu y acción. En todo caso, es un juego de números para sacar las cuentas que aprendimos en la escuela primaria, algo de regla de tres y, si avanzan mucho (porque hay varios niveles de juego), un poquito de progresiones.

Rithmomachia se inventó para ayudar a la gente a aprender los conceptos de De institutione aritmética de Boecio, un libro de tradición pitagórica, cuya vigencia duró la bicoca de entre 900 a 1000 años. En ese libro se habla de cosas tan raras como múltiplos, superparticulares, partientes y superpartientes. Con estos específicos conceptos se diseñan los números que se colocan sobre el tablero de rithmomachia (que se ve en la foto de arriba). Jugar para aprender... en realidad un procedimiento nada nuevo.

Les cuento más. Los griegos clásicos construyeron todo su arte sobre la teoría de las proporciones. Resulta ser que la proporción preferida es la que hoy llamamos razón áurea, que consiste en cortar un segmento en dos partes desiguales, de manera que la razón (o cociente, o división) entre el segmento completo y la parte mayor del corte sea la misma que la existente entre dicha parte mayor y la menor. La razón áurea con el tiempo permitió identificar un número especial, que se llamó el número de oro, relacionado tanto con el número 5 como con el pentágono regular. Es irracional, lo que en matemática se refiere a la extraña particularidad de tener una parte decimal con infinitas cifras que no llevan un patrón de formación constante; con cinco decimales es igual a 1,61803. Hacen multitud los libros que muestran la presencia del número de oro en innumerables obras de arte antiguas y modernas. Pero, aunque parezca cosa de locos, el número de oro tiene que ver con los conejos.

En el siglo XIII un matemático a quien apodaban Fibonacci, se dio cuenta que a partir de una pareja de conejos la población crecía según la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, etc., en la cual cada número que se escribe es la suma de los dos últimos que se escribieron. (Los dos primeros unos corresponden al conejo y la coneja inicial.) Fíjense que la sucesión puede continuarse todo lo que se quiera, es decir, uno puede seguir escribiendo números (cada vez más grandes) siguiendo la regla anterior hasta que lo lleven a la tumba. Lo interesante es que si a cada uno de esos números uno lo divide por el que dejó atrás entonces el resultado se parece cada vez más al número de oro (¡busca la calculadora, lector!). En otras palabras: la sucesión de Fibonacci contiene dentro de sí -de manera solapada- al número de oro.

¿Y qué tiene que ver esto con rithmomachia? Pues, resulta que Tomás Guardia es un fanático del número de oro; tanto así que piensa que a la ecuación de Euler (considerada una de las más bellas -si no la más bella- de la matemática) lo único que le falta es el número de oro. Y entonces en una oportunidad se puso a juguetear con los números de rithmomachia y consiguió cosas que se parecen al número de oro. Yo recordé la película π, orden en el caos de Darren Aronofski, en la que el mentor del protagonista Max lo previene de ponerse a buscar números, pues quien busca un número siempre lo encuentra: esa es la esencia de la numerología, "ciencia" tan alabada por los habladores de pistoladas que ocupan los espacios televisivos matutinos.

No obstante en la esencia del número de oro está el sutil concepto de infinito: se supone que para llegar a él por medio de la sucesión de Fibonacci tendríamos que escribir los infinitos números de la sucesión, cosa imposible para la dinámica de la vida, mas no para el poder de la imaginación. Eso es lo que hace el matemático: imaginar. Imaginamos entonces Tomás y este servidor que quizás hubiera una manera de convertir el tablero de rithmomachia en un tablero infinito, manteniendo aun vivo el espíritu de Boecio y su milenario texto, vale decir, mantener el espíritu pitagórico. ¡Resultó que se podía! Y... ¡a qué no adivinan! Se pudo justamente con la sucesión de Fibonacci. (Vale la pena comentar que Boecio vivió de 480 a 524 d. C., mientras que Fibonacci lo hizo de 1170 a 1250 d. C.) 

Por mucho que algunos la vean como materia muerta, la matemática tiene vida propia. No hay nada que se descubra en matemática que no traiga nuevas preguntas. Lo primero es que las cosas que se descubren tienen que recibir un nombre, hay que bautizarlas; por razones etimológicas, los números que descubrimos quisimos llamarlos sucesiones fibocuadráticas (¿suena complicado? ¿díganme qué les parece esternocleidomastoideo?) Y resultó que, de manera muy natural, las sucesiones fibocuadráticas también guardan solapadamente al número de oro... ¡una manera muy satisfactoria de convertir la numerología original de Tomás en matemática genuina!

Pero el nuevo engendro siguió cobrando vida. Pasa que como la sucesión de Fibonacci es una especie de mina inagotable de resultados matemáticos hermosos, en el siglo XVII el astrónomo Giovanni Cassini consiguió una muy bella relación entre tres términos consecutivos cualesquiera de la sucesión de Fibonacci. Resultó natural -aunque no necesariamente se cumpla siempre esta condición histórica- que a esta relación se le llamase identidad de Cassini. Pues bien, en esta jugadera con rithmomachia a nosotros se nos atravesó varias veces en el camino la identidad de Cassini, hasta que llegamos a una fórmula que no involucraba solo tres términos de la sucesión de Fibonacci, sino cualquier número de términos de la misma. Más todavía: la fórmula nuestra se aplica a cualquier sucesión que se parezca (en cierto sentido) a la sucesión de Fibonacci. Resulta entonces que esta fórmula es una extensión de la identidad de Cassini. Todo eso escondido en un juego medieval pensado para ayudar a leer un libro de aritmética.

Ya con esto es suficiente. Para finalizar aquí basta decir que la cadena de preguntas no se ha parado, pero como se desprende del discurso de Morgan Freeman, pocas cosas son mejores que divertirse con lo que se hace como actividad de vida. Por eso esta descripción -que no debe parecerle a nadie algo extraordinario: es lo que hace habitualmente el matemático; cada día se logran cosas como ésta y aun más profundas e interesantes- lo que trata es de despertar en el profano de nuestra ciencia un sentido de su propia dinámica, de su manera particular de abordar sus realidades; mostrar que no es un sarcófago en el que sumos sacerdotes practican necrofilia intelectual. Es un organismo vivo y de colores brillantes.

Los trabajos matemáticos se presentan a la comunidad científica en un formato que se denomina con un anglicismo: paper. Nuestro paper puede conseguirse en este enlace, para aquellos de ustedes que tengan la curiosidad.