Dos hombres y una idea: los logaritmos

La trascendencia es el objeto de una pasión. Alcanzar la satisfacción de llegar a nuevos territorios, mundos inexplorados, caminos no transitados, es una fuerza motriz del comportamiento humano. Para muchos de los seres humanos a quienes endilgamos hoy el calificativo de grandes, la gloria era su fuente primaria de energía e inspiración. Lo ha sido para estadistas, para guerreros, para artistas, para científicos. En todos los casos es un objeto pasional tan poderoso como vano, tan impulsor como difuso, tan intenso como dudoso.

En amena conversación, Alfredo Vallota deslizaba que dentro de tres mil años las fronteras temporales que separan a Descartes y Kant habrán desaparecido, para dar paso a una borrosa idea de contemporaneidad de ambos pensadores, como la que para muchos existe entre Pitágoras y Arquímedes, a pesar de sus trescientos años de distancia histórica. Toda la trascendencia puede despacharse bajo la vaga clasificación de "pensadores griegos antiguos" y queda para los especialistas o curiosos la conciencia del oscuro ínterin... Corta, muy corta, la temporalidad de la trascendencia. "Vanidad de vanidades, dijo el predicador... ¿qué provecho saca el hombre de todo aquello con que se afana debajo del cielo."

Si como supone el lector, a alguien debemos aplicar la moraleja de la parrafada anterior, pocos hombres y pocas ideas serán tan claramente afines a ella como John Néper (en la foto de apertura) y su invención de los logaritmos. Hoy, cuando un muchacho de nueve años porta una calculadora cuya verdadera utilidad no comprenderá ni en su mayoría de edad, resulta difícil entender cómo es posible que un hombre haya pasado veinte años de su vida construyendo un instrumento de cálculo tan burdo como una tabla en la que cada entrada, con sus más de nueve cifras, le exigía horas de paciente elaboración para que otros pudieran usarlas justo para hacer menos laboriosos sus propios cálculos. Gesto heroico, mirado por el actual infante cibernético como poco menos que una pérdida de tiempo.

John Néper (Napier, lo escriben en inglés, entre otras muchas posibles ortografías) nació algún día del año 1550 en el castillo de Merchiston, cerca de Edimburgo, Escocia. Sus padres fueron Archibald Napier, quien ostentaba título de nobleza, y Janeth Bothwell. Apenas a los trece años ingresa a la Universidad de San Andrés, a solicitud expresa de su tío materno, el obispo de Orkney, quien previó su talento. Allí comenzaría sus estudios de religión, materia a la que dedicaba buena parte de sus esfuerzos participando en el movimiento reformista de Escocia, afirmando de manera indeleble su fe protestante y decididamente anticatólica, lo que años después lo llevaría a declarar al papa como el anticristo, en una obra titulada A plane discovery of the whole revelation of Saint John (o Diáfana manifestación de la total revelación de San Juan), en la que además predice el día del juicio final para una fecha determinada entre 1688 y 1700.

Fama le ganó su obra religiosa... fama hoy extinguida. Como también entre sus vecinos ganó fama su particular carácter personal, que puede suponerse de alguna firmeza si atendemos a las anécdotas (ciertas o falsas) que le adjudican continuos enfrentamientos con sus vecinos, por no aceptar los pequeños o grandes abusos que siempre implica la vida en comunidad. Asimismo se destaca su capacidad para la invención tecnológica, pues se dice que propuso, para enfrentar la segunda invasión de Felipe II a Inglaterra, entre otras armas no menos mortíferas, la construcción a la manera de Arquímedes, de grandes espejos que pudieran incendiar las naves enemigas. Que se sepa ninguno de sus artefactos bélicos llegó a realizarse. En definitiva: estaba destinado a ser conocido por los logaritmos.

Seguro lector que ya has situado la vida de Néper entre los siglos XVI y XVII, asociarás esta época a la inquieta e intensa actividad de la navegación comercial que siguió al descubrimiento de América por las potencias colonizadoras, actividad que, por otra parte, apuntó necesariamente al estudio de los cielos y sus regularidades que culminó en las revolucionarias teorías astronómicas de Copérnico, Képler y Galileo. Tales observaciones implicaban enormes esfuerzos de cálculo para ordenar y dar sentido a los copiosos volúmenes de datos que ellas generaban. Es esto lo que Néper tenía en mente cuando pensó en sus logaritmos.

Pero antes de pasar a describir en qué consiste esta idea, es sano hacer notar que ya Néper había sido precedido en la misma por un relojero suizo que respondía al nombre de Jobst o Joost Bürgi quien, según las evidencias existentes en manos de los historiadores, pudo haber llegado a la idea por lo menos seis años antes de Néper. Sin embargo, Bürgi cometió un error imperdonable para todo científico: no publicó sus resultados sino hasta 1620, seis años después de que la obra de Néper estaba propagada por todo el mundo civilizado y reconocida su importancia. A Bürgi solo le quedó el consuelo de ver difundida su creación de manera anónima dentro de un reducido grupo de usuarios de la ciudad de Praga.

La entrada se llama Dos hombres y una idea... no te engañes lector pensando que el segundo hombre es Bürgi. No. Se trata del inglés Henry Briggs, cuya participación en el desarrollo de los logaritmos es lo suficientemente importante como para asignar su nombre a un sistema de logaritmos: los logaritmos de Briggs o logaritmos decimales. Ya hablaremos de él, pero aun debemos explicar algo acerca de la idea.

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La forma habitual de enseñanza de los logaritmos data de los tiempos de Leonhard Euler (¿te suena?) suizo que, como ya sabemos, no se dejó amilanar por la ceguera, que lo acompañó durante sus últimos veinte años, donde produjo lo mas granado de su obra. Es Euler quien impone el modelo de los logaritmos considerados como exponentes de una potencia (más o menos como lo expresa el gráfico a la izquierda); es la forma en que lo ven (o deben verlo) los muchachos que hacen su cuarto año de bachillerato. Sin embargo, para la época de Néper no se conocían los exponentes y las potencias que fueron introducidos en 1637 por René Descartes en su obra La Geometría. Ahora bien, a pesar de la utilidad del método euleriano, la presentación de Néper era de mayor sencillez aritmética. Veamos en qué consiste.

Escoge, lector, un número positivo cualquiera. Si el número que se te ocurrió no fuera el 2, no creo que tengas mayor problema en seguirme el razonamiento si ése es el que yo escojo. Empezando desde el 1, multiplico por 2 para obtener 2 como resultado, al cual también multiplico por 2 para obtener 4, y de nuevo multiplico por 2 para llegar a 8, etc.

De esta manera se obtiene la sucesión de números 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... la cual recibe el nombre de progresión geométrica de razón 2. (Si el número que pensaste fue 5, tu progresión es 1, 5, 25, 125, 625, ... Comparando tus números con los míos, verás por qué hice mi selección.)

Coloca ahora debajo de los términos de la progresión geométrica los números en su secuencia natural

1	2	4	8	16	32	64	...
0	1	2	3	4	5	6	...

 Pues bien, al estar dispuestos de esta manera a cada número de la secuencia inferior se le llama logaritmo del que tiene encima en la secuencia superior. Es decir, 0 es el logaritmo de 1, 1 es el logaritmo de 2, 2 es el logaritmo de 4, etc. El número 2 que tomamos como razón de la progresión geométrica se denomina base del sistema de logaritmos y, por supuesto, si se cambia, cambian los valores de los logaritmos. La palabra logaritmo fue acuñada por el propio John Néper, combinando las palabras griegas λογος (logos, razón) y αριθμος (arithmos, número).

Si tomas, lector, dos de los logaritmos de la fila inferior, digamos 2 y 4 (logaritmos de 4 y 16, respectivamente), y los sumas verás que el resultado 6 es el logaritmo de 64 quien, a su vez, es el producto de 4 y 16. Podrás comprobar otros casos completando algunos números que falten, pero siempre conseguirás que el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores del producto. Es decir, el paso por los logaritmos convierte a la multiplicación en una suma; como es de esperar, los logaritmos convierten a la división en una resta. Esto es lo que hace (o hizo) a los logaritmos tan poderoso auxiliar del cálculo: la posibilidad de convertir operaciones pesadas y engorrosas con grandes números en operaciones más sencillas con sus logaritmos.

Sin embargo, podrás objetar que no todos los números tienen un logaritmo o, mejor dicho, hay números que no aparecen en la fila superior, por ejemplo el 6, el 7, el 13, etc. ¿Cómo se determina entonces su logaritmo para poder usarlos en los cálculos donde estos números aparezcan? La clave de ello está en una técnica denominada interpolación, la cual no puedo explicar aquí, pero que no funcionaría adecuadamente si no se dispusiera de una notación que permitiera escribir fracciones en la forma de una parte entera separada de su parte decimal, como acostumbramos hacerlo sin saber que esta facilidad la debemos, entre otros, al empeño de John Néper, pues en su época apenas se empezaba a usar en Europa y no de muy buena gana. La técnica de interpolación nos indicará que el logaritmo de 6 es igual a 2,5850, mientras que el de 15 es 3,9069.

No obstante, la interpolación haría las cosas más difíciles (e imprecisas) mientras más números hubiera que interpolar, lo cual obliga a buscar una base que dejara la menor cantidad posible de separación entre número y número de la progresión geométrica. Néper no piensa en el concepto de base: lo usa intuitivamente y, después de mucho devanarse los sesos, consiguió que la selección adecuada era el número 0,9999999. No olvides, lector, que Néper duró veinte años haciendo su esfuerzo. Este recordatorio me sirve para justificar la evasión de una explicación, que sería necesariamente larga y técnica, aun con nuestras facilidades actuales de notación. (Escribo algo al respecto, con un poco más de ambición, para dejarlo en papel al lado de otras cuantas ideas relacionadas. Ojalá este año me permita terminar ese trabajo.)

Una vez armado de la base adecuada, solo quedaba a Néper el cálculo de us logaritmos, el cual fue expuesto el año de 1614 en una obra en latín titulada Mirifici logarithmorum canonis descriptio (o Descripción del magnífico canon de los logaritmos) que fue acompañada por otra de título Mirifici logarithmorum canonis constructio (o Construcción del magnífico canon de los logaritmos), la primera publicada en 1614 y la segunda en 1619, dos años después de la muerte del autor, que había sucedido el 4 de abril de 1617.

La recepción de estas obras fue de un éxito sorprendente, pocas veces visto en la aparición de una idea científica o tecnológica. Al apenas conocerlas, Henry Briggs se sintió tan identificado con la idea que decidió visitar a Néper para proponerle importantes adiciones y modificaciones a la misma. Sigamos con algunos detalles al respecto.

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En Henry Briggs vemos un personaje extrañamente silenciado en la historia de la ciencia, tocado casi de pasada, como quien no quiere la cosa. Pero fue este personaje lateral, más que su creador, la fuerza que impulsó el desarrollo y la popularidad de los logaritmos.

Nació Briggs en febrero de 1561 en Warley Wood, en la parroquia de Halifax, Yorkshire. A sus dieciséis años ingresa al St. John College de la Universidad de Cambridge, donde obtiene su título de bachiller en artes en 1581 y su maestría en artes en 1585. Hombre de múltiples intereses, el mismo año que presenta un examen de grado en medicina, es aceptado como profesor de geometría en Cambridge. Cuatro años después, en 1596, se convierte en el primer profesor de geometría del Gresham College de Londres. (Me acota Alfredo Vallota que el Gresham College fue la primera escuela de navegación dentro de cuyos objetivos, estaba el entrenar a los marinos en el uso de la matemática para el manejo de los buques.)

En una carta dirigida a James Usher, profesor del Trinity College, Briggs manifiesta su interés en la astronomía, principalmente en el tema de los eclipses y es este interés el que, sin duda, lo llevó al conocimiento inmediato de los logaritmos recién descubiertos por Néper. Esta idea produjo en él un impacto tal que se dedicó a ella y a sus consecuencias con todo su impulso vital, por lo que descubre de inmediato una debilidad importante del sistema propuesto por Néper y, de paso, la manera adecuada de resolver la dificultad planteada.

Pero, sin embargo, su preocupación fundamental era conocer al admirable hombre que había producido tan maravillosa idea, para lo cual no dudó, previo convenimiento con Néper, en hacer un largo y agotador viaje hasta Escocia con el único objetivo de visitarlo. El encuentro entre ambos hombres es narrado de manera deliciosa por el astrólogo William Lilly:

"John Marr, geómetra y matemático excelente, había llegado a Escocia antes de Mr. Briggs, con el propósito de estar presente en el momento en que estas dos ilustradas personas se encontrasen.

Mr. Briggs fijó cierto día para la cita de Edimburgo; pero habiendo fallado, lord Néper comenzó a sentir dudas de que vendría. -`¡Oh, John!´, dijo Néper, `Mr. Briggs no va a venir´.

Justo en ese momento alguien toca la puerta; John Marr corre hacia abajo y comprueba, con gran alegría, que se trata de Mr. Briggs. Lleva entonces a Mr. Briggs a la cámara del lord, donde casi un cuarto de hora transcurre mientras cada uno mira al otro con admiración, antes de que alguno de ellos pronuncie la primera palabra.

Al final Briggs dice: `Milord, he sobrellevado este largo vieje con el único propósito de conocerlo a usted personalmente, y averiguar por medio de qué mecanismo de sabiduría o ingenio usted fue el primero en pensar en esta excelente ayuda para la astronomía, es decir, los logaritmos; pero, milord, una vez que usted los ha hecho evidentes, me maravillo de que nadie los haya encontrado antes cuando, ahora que son conocidos, parece que fueran tan sencillos´."

(A propósito, creo que fue Borges quien dijo que un texto bien escrito debe dar al lector la sensación de que él mismo pudo escribirlo. Lo bien hecho siempre nos da idea de facilidad en la ejecución; esa es la naturaleza de la observación de Briggs a Néper.)

La observación crítica que Briggs hizo a Néper tocaba dos aspectos importantes del sistema. Uno se refería al cambio de la base; recordarás que la base seleccionada por Néper fue 0,9999999, ante la cual Briggs propuso la base 10,  lo que simplificaba los cálculos una enormidad. El otro aspecto apuntaba a la selección del número cuyo logaritmo debía valer cero. Por razones que no puedo explicar en esta entrada, Néper había seleccionado 10.000.000. La propuesta de Briggs fue cambiarlo por 1: es decir, el logaritmo de 1 es igual a 0.

Estas dos propuestas dieron inicio a lo que hoy se conoce como sistema de logaritmos decimales o, con menor frecuencia, logaritmos de Briggs. Néper acogió de inmediato y de buen grado las propuestas de Briggs, pero estando ya en edad avanzada y algo achacoso -debido al extremo trabajo que consumió su vida- dejó a éste la tarea de elaborar las tablas correspondientes.

En efecto, así fue y en 1624 se publica Arithmetica Logaritmica, un tratado que contiene los logaritmos decimales de los números de 1 a 20.000 y de 90.000 a 100.000, calculados hasta catorce cifras decimales, así como también los logaritmos de algunos valores de las funciones trigonométricas. El por qué del vacío numérico arriba indicado no está del todo claro, pero Briggs dejó explícito que otros debían llenarlo, tarea que fue realizada por Vlacq en 1628 en Gouda, Holanda.

En Londres las tablas de Briggs y Vlacq se publicaron con el nombre de Trigonometria Britannica, en 1633, luego de la muerte de Briggs, sucedida el 26 de enero de 1630 en Oxford. La tarea de edición fue encomendada por el propio Briggs a su amigo Henry Gellibrand, profesor de astronomía del Gresham College.

Las propuestas de cambio de Briggs cubren el núcleo de la moderna teoría de logaritmos, aunque estudios posteriores ligan esta teoría a las propiedades de una curva estudiada desde la antigüedad griega por el sabio Apolonio: la hipérbola, una de las tres secciones cónicas o cortes de un cono por un plano. Esta identificación dio lugar a un nuevo sistema de logaritmos cuya base es un número extraño, algo mayor que 2 y con infinitos decimales que no siguen ningún patrón de formación, es decir, un número irracional. A este número se le denota por e (notación introducida por Euler) y al sistema de logaritmos se le conoce como logaritmos neperianos, una manera de inmortalizar -dentro de lo que la fragilidad de la trascendencia permite- el nombre del autor de esta brillante idea. Por cierto, esos que los matemáticos actuales conocen como logaritmos neperianos no son los mismos que Néper publicó en sus tablas. De hecho, con alguna modificación, estos últimos más bien son logaritmos de base 1/e.

Hoy por hoy, la importancia de los logaritmos está alejada de su uso como instrumento de cálculo, pero muy alejada. El Cálculo y el Análisis, sin embargo, sustentan buena parte de sus aparentemente abstractos contenidos en la moderna interpretación que las hipérbolas engendraron. Ni Apolonio ni Néper pudieron haberlo soñado... no solo la vida te da sorpresas, Pedro Navaja, la historia de la ciencia también.

Nota aclaratoria: Mi generoso lector, lo que te acabo de entregar fue publicado en tres números del diario El Impulso de Barquisimeto, Edo. Lara, Venezuela durante el mes de junio de 2001, ya cerca de dos sexenios atrás. Recojo la idea porque en este momento la historia de los logaritmos está formando parte de mi propia historia. Gracias por leer.