Acerca de un injusto olvido

Clásico es una palabra que se puede usar con muchos sentidos y significados. Por ejemplo, si hablamos de creación intelectual, ¿cuándo comenzamos a llamar clásica a la obra de un autor determinado? La visita al diccionario es de ayuda luego de un cuidadoso proceso de descarte; el DRAE -por nombrar algo- nos presenta diez acepciones del término, de las cuales -dentro de aquellas que entran en contexto con el tema que acabamos de plantear- destacamos:

3. adj. Dicho de un autor o de una obra: Que se tiene por modelo digno de imitación en cualquier arte o ciencia. U. t. c. s. m.

4. adj. Perteneciente o relativo al momento histórico de una ciencia en el que se establecen teorías y modelos que son la base de su desarrollo posterior.

Clásico está entonces asociado a la permanencia en el tiempo. Permanencia que significa la presencia constante de seres humanos dispuestos al disfrute o uso de la obra a pesar del paso de la Historia. El Quijote es y seguirá siendo lectura para todas las generaciones, Beethoven se seguirá oyendo mientras haya oidos sensibles sobre la Tierra, Chaplin seguirá haciendo reír por encima de los grandes avances técnicos del cine, los Beatles parecen también estar atados a la eternidad (si es que la eternidad existe). Pero nuestra premisa de permanencia habla de "disfrute o uso de la obra" y es en este último punto -el del uso- en el que entra el clasicismo de algunas obras científicas. Cruelmente, este detalle es el responsable del olvido del autor de la obra: queda el trabajo, pero el nombre de quien lo hizo se diluye en el tiempo. En esta categoría de injustificado olvido se encuentra el nombre de Simon Stevin (1548-1620).

Nacido en Brujas, la capital de Bélgica (también se habla de él como Simón de Brujas), a Stevin se le reconocen varias profesiones, entre las que destacan ingeniero y matemático. Por supuesto que a nosotros viene por lo segundo, mas lo que queremos destacar de su obra es algo tan del día a día que con ello tienen que ver el vendedor ambulante, el obrero, el médico y el matemático más eminente: hablamos de los decimales, esos dígitos que se escriben después de la coma o el punto y que representan la parte fraccionaria  de un número. Del paso de uso habitual a la condición de naturalidad solo media la costumbre, esto es, al acostumbrarnos a algo se nos hace tan natural que no podemos pensar que alguna vez haya sido distinto a cómo lo conocemos. Pero algunas naturalidades están llenas de carga histórica. Revisemos el camino recorrido por la nuestra.

No le fue fácil a la Europa medieval entrar a la numeración mal llamada arábiga (en realidad se debe a los indios), ésa de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 a la cual se le añade el 0 que -contradictoriamente- es un símbolo tan lleno de contenido que asombra su indicación de carencia. El cálculo -o mejor: el sacar cuentas- no era una actividad cotidiana y si necesidad hubiera de ella había profesionales -los calculistas o abaquistas- que podían hacer el trabajo. Estos calculistas se la llevaban bien con los números romanos; después de todo, llegar a una multiplicación significaba un exagerado refinamiento, así que las sumas y restas eran casi todo lo necesario. Sumar en números romanos es cosa fácil si cambiamos ligeramente alguna regla, a la que pudiéramos llamar propiedad substractiva, esto es escribir un número mediante la resta... es más fácil con un ejemplo: LIV significa para nosotros 54, pues el I se resta del V. Esta propiedad se puede cambiar por una aditiva, con el requisito adicional de que ningún símbolo debe escribirse más de cuatro veces, así nuestro 54 romano quedaría LIIII.

Supongamos ahora que queremos sumar este LIIII (54) con otro número, digamos XXXVI (36). La regla es simplemente agrupar todos los símbolos de ambos números, lo que resulta en LXXXVIIIII; pero los cinco I dan un V por lo cual la cosa quedaría como LXXXVV y ahora los dos V dan un X y finalmente tendríamos LXXXX. Decimos "finalmente" pues de esta manera puede pasarse a la tradicional forma substractiva para que nos dé el XC (90) que queríamos obtener. La resta es algo más quisquillosa y no creo que haya muchos lectores interesados en la experiencia, pero puede ser la curiosidad una fuerza tan iresistible que ahorro el trabajo al curioso dando el correspondiente enlace a Wikipedia.

Farragoso, ¿no? Algunos pensadores tomaron temprana nota de este asunto. Entre ellos el clérigo Gerberto de Aurillac (946-1003), quien cruzaría del siglo X al XI como el papa Silvestre II (el primer papa francés de la historia, en un corto papado de cuatro años), pero años antes de su pontificado proponía novedosos sistemas de cálculo, como un ábaco de su propia invención o el sencillo proceso posicional que la numeración indoarábiga portaba. No fue suficiente su enorme prestigio, era aún muy temprano para despertar a la Europa que aun dormía bajo el infujo aritmético de Nicómaco y Boecio, y seguiría en su sueño por cuatrocientos años más, lapso en el cual otra débil luz encendida por Leonardo de Pisa o Fibonacci (c. 1170-1250) repetiría -quizá sin saberlo y también infructuosamente- el esfuerzo del religioso neomilenario.

No obstante, ya cerca del final del siglo XV -ése que terminaría mostrando a los de piel pálida territorios y seres humanos desconocidos- las crecientes necesidades del comercio obligaron a la sensatez y para ese entonces ya la numeración indoarábiga tenía carta de residencia europea. Pero persistía un problema: al realizar pesos o medidas (en matemática ambos son medidas) había que ir más allá de los números enteros. A lo mejor una vaca producía diez cántaras de leche más un resto que era menor que una cántara; ¿cómo determinaban vendedor y comprador el precio de este resto? Ya desde la antigüedad babilónica se manejaban las fracciones (esas que nos han malvendido alguna vez como quebrados) y, por supuesto, los europeos las incorporaron para cubrir esas necesidades, dividiendo las unidades de medida en partes iguales de varias formas distintas. Así, un recipiente de un medio de cántara podía ayudarnos a ver que el sobrante era ligeramente mayor de 1/2, pero todavía quedaba algo de leche por medir, para la cual quizás podría usarse un recipiente de un quinto de cántara y resultaban dos de ellos, por lo que finalmente la cantidad de leche era de 10+1/2+2/5 de cántara. Si todavía sobraba algo, lo más seguro era que se dejaba de ese tamaño para aligerar el trabajo.

Si esta producción de leche había que incorporarla a la de otra vaca que había dado 12+3/5+2/7 de cántara, se planteaba el problema de la totalización de las fracciones, pues totalizar los enteros ya no era mayor problema. (Es un decir: hasta el siglo XIX aun había calculistas; hombres tan cultos como Montaigne manifestaron públicamente no tener niguna habilidad de cálculo. Hoy por hoy... pues... ummh... hay sus casos.) Por supuesto que se conocían las reglas de manejo de las fracciones, pero éstas son sumamente pesadas, como lo manifiesta todo el que pasa por los famosos quebrados. (Aun más: la forma en que se les enseña actualmente los despoja de todo contenido, magnificando así la pesadez.) Si se dispusiera de alguna manera de representar estas fracciones por números enteros, sin duda que la tarea se facilitaría.

Vinieron entonces en ayuda los antiguos babilónicos, quienes habían utilizado consistentemente el sistema de numeración de base 60, ese mismo que usa todo el mundo para calcular el tiempo (horas, minutos y segundos), pero también para medir ángulos, cosa muy necesaria para una época que se alimentó de la navegación hacia los nuevos y viejos territorios del mundo. Los ángulos servían para medir en el cielo, al cual se consideraba una esfera, se medían (aun se hace) en grados (º), minutos (') y segundos ("). La leche que dan las vacas también se puede medir (babilónica o sexagesimalmente) en cántaras, minutos y segundos, donde un minuto es la sesenta-ava parte de una cántara y un segundo la sesenta-ava parte de un minuto. Por ejemplo, de las vacas anteriores la primera da 10c 55' y la segunda 12c 53' 8". (Seguro que alguno se pregunta por qué. Para contestar no es mala idea colocarse en los zapatos del hombre del medioevo. Bueno... sacudiendo la pereza.) Para totalizar, se podía escribir la operación así:

sumando las cántaras, sus minutos y segundos por separado. Claro... cuando uno ve la columna de los minutos se da cuenta de inmediato que 55 más 53 no es 48, sino 108... es precisamente ésa una de las ventajas de la escritura sexagesimal: 48 es el exceso de 108 respecto a 60, entonces escribo los 48 minutos y llevo (¡qué verbo tan pícaro!) los sesenta que son una cántara; cuando sume las cántaras el 22 se convertirá en 23 por la cántara llevada.

¡Ingenioso!, ¿no? Así pasa siempre que conocemos algún instrumento de cálculo antiguo: nos maravilla su ingeniosidad. Sin embargo, lo más interesante y más profundo del asunto no lo hemos considerado todavía: hemos evitado el cálculo con las fracciones y todo se ha resuelto mediante números enteros; las fracciones están allí, pero solo nominalmente, no estorban el cálculo. Es en este momento que entra nuestro amigo Stevin en el relato, pues aun el sistema sexagesimal le parecía complicado y concibió la maravillosa idea de considerar fracciones decimales en vez de sexagesimales. Las fracciones decimales son aquellas cuyo denominador es la unidad seguida de ceros (perdónenme los amigos matemáticos por no decir las potencias de 10), como 1/10, 1/100, 1/1000, etc.

Stevin vio en estas fracciones la solución definitiva al problema de operar con números que llevaran parte fraccionaria. Bueno es decir que había antecedentes, por ejemplo D. E. Smith reporta en su libro Rara Arithmetica un libro de 1492 (el mismo año del descubrimiento de América) en el cual se escriben los números mediante fracciones decimales separando la parte entera de la fraccionaria mediante un punto, tal como lo hacen hoy las modernas calculadoras. Pero todo esto no era más que un asunto de presentación, pues no llevaba explícita la carga operativa que genialmente notó el flamenco quien, para explicar su idea, escribió en 1585 un libro al que denominó La Disme, nombre que sugiere el carácter decimal del pensamiento que expone el texto. La influencia de La Disme en el curso de nuestra civilización es tan importante que esta obra debería tener tanta notoriedad como El Quijote o Macbeth, pero en realidad ni siquiera aparece el nombre en El Pequeño Larousse Ilustrado, aunque sí aparece su autor. (Hablo solo de notoriedad. Todos saben que El Quijote es notable, pero muchos ni siquiera han leído su primera página.) En La Disme, Stevin nos enseña a operar los números tal y como lo hacemos hoy, aunque con alguna diferencia de forma, que vale la pena exponer.

La idea inicial es ordinalizar los decimales, esto es, indicar el orden en que deben venir; para ello utiliza las denominaciones prima, segunda, tercera, etc. Así, nuestra primera vaca produce 10 cántaras más 7 primas, mientras que la segunda da 12 cántaras, 8 primas, 8 segundas, 5 terceras y un resto adicional que mejor dejamos secar. A la parte entera del número, Stevin la llama Comienzo (así con mayúscula) y, a falta de mejor orden, se le asigna 0. Entonces, las producciones de las vacas quedan de la siguiente manera

tal como deben representarse de acuerdo a lo establecido en La Disme. Para sumarlos, el flamenco dispone la operación de la siguiente manera:

un resultado con un Comienzo de 23 cántaras, 5 primas, 8 segundas y 5 terceras. Es de notar que las posiciones que el número no tiene se rellenan mediante ceros.

¡La democracia total! Planteado de esta manera, el cálculo de cantidades se convertía en algo tan mecánico que era cuestión de tener en la memoria algunos resultados básicos (lo que después fueron las famosas tablas) y llevar estos resultados parciales a operaciones mucho más generales con los números que se deseara o necesitara. No hemos descrito (ni lo vamos a hacer) la resta, multiplicación, división y hasta extracción de raíces, pero en esencia las proposiciones de La Disme son los procedimientos que hoy realizamos. (Digo mejor: deberíamos realizar. Nadie lo hace más allá del aprendizaje pues se dispone de calculadoras.) Todos estos procedimientos (menos la radicación) esperamos que sean conocidos por cualquier niño que sale de la escuela primaria vía sexto grado. Pero para esto se requirió mucho tiempo en el que hasta parte de la intelectualidad se resistió a este aprendizaje. Todavía hoy asombra que haya quienes presumen de conocimiento humanístico en la misma medida que lo hacen de ignorancia matemática.

No faltará quien reclame: ¡No, así no se suma hoy! Esos circulitos indicadores de orden nadie por aquí los ha visto. Razón tienen... en lo que respecta a los circulitos. Pocos años después del trabajo de Stevin, Juan Néper, el inglés inventor de los logaritmos, se planteó separar la parte entera (el Comienzo de Stevin) de las fracciones decimales mediante un punto (igual que en 1492, pero de seguro Néper no lo sabía), y sobreentender cada una de las posiciones decimales. Las operaciones se seguirían realizando tal como lo mostró Stevin o con variaciones menores:

Hoy no hay acuerdo sobre si debe separarse con un punto o una coma y en ello van hasta los orgullos nacionales; pero qué importa: todo el mundo -según parece- entiende el concepto y del concepto para allá solo falta ponerse de acuerdo en cómo escribir las cosas. Algún día nos pondremos de acuerdo.

CASA DE ARENA: relatividad, poesía y soledad

Un largo lapso de silencio, una cansina caminata, un desierto amplio y riguroso, un rostro cansado, otro conforme y otro empecinado; he allí el comienzo de Casa de arena, la película que el director brasileño Andrucha Waddington  nos entregó en el año 2005. Quizás una casualidad, pero ese año hacía 100 de la publicación por Albert Einstein de su famosa teoría especial de la relatividad, la que juega un papel fundamental en esta película, pero poco reconocido por quienes la han comentado.

El tiempo -ese concepto que recibiría una sacudida tan fundamental en la teoría de la relatividad- es el verdadero protagonista de la película de Waddington. El tiempo es quizás la más sutil de las invenciones humanas. (La demagógica frase El tiempo de Dios es perfecto es brutalmente contradictoria: no puede tener Tiempo quien es absoluto, eterno y simultáneo; al tiempo lo necesitan los seres relativos, finitos y consecutivos... y quienes puedan pensar en él; a los animales no les hace falta y por tanto carecen de conciencia de tiempo.) Áurea (Fernanda Torres) es víctima fatal del tiempo; su voluntad no tiene la capacidad de cambiar su destino por mucho que su carácter se rebele ante la suerte escogida; también el azar la traiciona en la única oportunidad en que decide oponerse con aparente éxito a su circunstancia.

Llevada al desierto por un marido -Vasco de Sa (Ruy Guerra)- empeñado en la promesa de la prosperidad frente a la nada, Áurea tiene principalmente a la angustia como compañera para ver pasar los días. También lleva consigo a su madre María, representada por la imponente Fernanda Montenegro  de Estación central de Walter Salles. (Por cierto, en la vida real Fernanda Torres es hija de Fernanda Montenegro y esposa del director Andrucha Waddington.) Pero también lleva una compañía pasiva: en su vientre abultado va su futura hija, quien recibirá el nombre de la abuela y será representada por Camila Facundez en su niñez.

La atrevida concepción einsteniana colocó al tiempo como una de las patas del trípode que sostiene a la realidad física: junto con la materia y el espacio están ligados de una manera tan íntima, que se hace imposible separar cualquiera de ellos del trío y los cambios de uno cualquiera son necesariamente cambios de los otros dos; así, el tiempo deja de ser el absoluto que alguna vez quiso el marco newtoniano. Una de las consecuencias más sorprendentes de tan obnubilante punto de vista es la llamada paradoja de los gemelos, según la cual si uno de dos gemelos parte en viaje relativista a confines del Universo que ni siquiera avizoramos, a su regreso conseguirá que su hermano ha envejecido mientras él aún mantiene su lozanía juvenil. (Será difícil comprobar esto con seres humanos, pero ya las partículas subatómicas han hecho el trabajo por nosotros.)

Waddington nos maravilla haciendo poesía de la paradoja de los gemelos, en una bella escena de amor en la que un piloto de la Fuerza Aérea Brasileña (el teniente Luiz, representado de joven por Enrique Díaz y de viejo por Stenio García), comenta el fenómeno a la arrobada Áurea quien,  incapaz de comprender, pregunta dónde se desplazará el gemelo viajante, a lo que recibe como respuesta: En un cohete. Es éste apenas un pequeño detalle de la solidez del guión de Elena Soarez (quien concibió la historia junto al propio Waddinton y Luiz Carlos Barreto), pues al final de la película retorna la paradoja de una forma tan bella, que es mejor verla que leerla, por lo que optaré por el silencio.

No termina la historia de sorprendernos. El teniente Luiz es guía de una renombrada expedición científica: una de los dos que observó el fenómeno de la desviación de la luz por la masa del sol en el famoso eclipse de 1919, con el que Dyson y Eddington comprobaron -más allá de toda duda razonable- la teoría de la relatividad general que Einstein había entregado a la imprenta en 1915. (Estamos en el año 100 de esa memorable fecha.) Sí... la expedición fue a Brasil y, aunque la película no nos sitúe en el lugar exacto, no podemos reclamarle su ficción pues enmarca una historia de amor que quedará como memoria para los cincuenta años siguientes, al cabo de los cuales el Hombre pisaría la luna, coincidencialmente en un cohete. Nos sorprende que el guía pueda explicar a su amante con particular detalle el objeto de la expedición; resulta ser un militar muy informado científicamente para su tiempo. Pero estamos en plan de perdonar ficciones porque el amor siempre lo queremos vivir en los términos más fantásticos posibles. Y para eso está el cine: para envolvernos en un engaño que disfrutamos precisamente por aceptar de manera voluntaria hacernos cómplices de él.

Luiz fue la única posibilidad real de Áurea de abandonar el desierto que la aprisiona en su vastedad, pero la tragedia se interpone en su camino. En adelante su realidad será solo la arena y no habrá otra realidad más allá del horizonte que la arena impone. En el mismo momento amoroso que vive con Luiz, Áurea incluso desconoce que el mundo pasó por una atroz guerra durante los cuatro años anteriores, desde el comienzo de su propio confinamiento. A pesar de ello, mujer vital como es consigue en los brazos de Massu (joven, Seu Jorge; viejo, Luiz Melodia) -posiblemente el más inteligente del grupo de esclavos fugitivos que hicieron propiedad junto con Vasco de los áridos terrenos- el amor del que había quedado huérfana y que tanto necesitaba.

En adelante, nos deslumbran tres cosas: (1) la inteligencia del guionista al mantener coherencia entre pasado y presente, cambiantes sorpresivamente frente a los aturdidos ojos del espectador;  (2) la sabiduría del director al jugar un enroque actoral que metamorfoseaba a las mismas actrices en nuevos personajes y (3) la versatilidad actoral (de ambas Fernandas, pero sobre todo la Montenegro) que nos convence sin reservas que puede ser una vez la madre y otra vez la hija. No solo eso: llega incluso a ser la nieta, en un alucinate juego en el que dos generaciones se ven la cara en la misma escena representadas por la misma actriz. ¿Sería la paradoja de los mellizos la que convocó a tal alarde de cinematografía? Quién sabe, pero el resultado deja satisfecho al más exigente.

En el desenlace, el toque de ternura -ante tanto dolor y soledad- lo gana la aparición de la música, presentida desde escenas tempranas de la película. Pero, después de todo, la música no es más que una manifestación estética de la matemática del tiempo. De manera que hasta el final nos acompaña esta presencia.

Recuento de una agradable jornada creativa

En el momento de recibir uno de los innumerables premios que ha ganado a lo largo de su vida, el actor Morgan Freeman afirmó -palabras más, palabras menos- que si el trabajo era algo desagradable, entonces él jamás había trabajado, pues nunca había hecho nada distinto de aquello que le gustaba. Se suele contraponer placer y trabajo: alguna máxima se ha empeñado en que el trabajo lo hizo Dios como castigo, de manera que son cosas radicalmente distintas decir Fulano está trabajando a Fulano está jugando. Pero lo absoluto siempre ha sido un imán de contradicciones y es muy fácil mostrar contraejemplos a esta idea: basta ver que hay gente que vive de jugar (y ganan por ello unas sumas fabulosas, de paso).

En la valoración del común de la gente, la matemática ha ganado fama de adusta; tal adustez hace entonces contrasentido con la idea de que pudiera ser divertida o, más aún, comparable con juego alguno. De nuevo nos encontramos con el eterno conflicto entre apariencia y parecencia: el matemático no hace otra cosa que jugar. (Claro: en ninguna parte del mundo gana las astronómicas sumas de jugadores en otras áreas y menos en este oscuro rincón de la Tierra, donde cualquier pauta cultural es sospechosa y ni siquiera se sabe para qué sirve un matemático.)

El matemático juega con objetos ideales, abstractos, elaborados por la mente y manejados únicamente por ella. (Suele sorprender a propios y extraños que toda esta abstracción se empeñe en conseguir lugares en el mundo concreto, sobre los cuales el estudio matemático ejerce cierto poder de predicción y control... pero esto es harina de otro costal.)

No debe sorprender, por tanto, que el juego en sí sea un objeto matemático... y efectivamente lo es; de hecho, hasta existe una teoría matemática que lleva el sugerente nombre de teoría de juegos. No hace falta ir tan lejos, sin embargo: cualquier juego puede motivar un problema matemático. (Por ejemplo: ¿cuál es el número posible de juegos distintos de la vieja o tres en raya.) Y hasta existen juegos hechos precisamente para que la gente aprenda matemática. Y esto último no es nada nuevo... es más, allí es donde quiero aterrizar. Porque resulta que, de un tiempo a esta parte, Tomás Guardia -joven matemático, profesor de la Universidad Central de Venezuela (UCV)- y este servidor se ocupan de un juego medieval llamado rithmomachia, que sería ocioso describir aquí ya que le hemos dedicado dos artículos: Rithmomachia: un juego serio (¡como todos los juegos!) y Rithmomachia: espíritu y acción. En todo caso, es un juego de números para sacar las cuentas que aprendimos en la escuela primaria, algo de regla de tres y, si avanzan mucho (porque hay varios niveles de juego), un poquito de progresiones.

Rithmomachia se inventó para ayudar a la gente a aprender los conceptos de De institutione aritmética de Boecio, un libro de tradición pitagórica, cuya vigencia duró la bicoca de entre 900 a 1000 años. En ese libro se habla de cosas tan raras como múltiplos, superparticulares, partientes y superpartientes. Con estos específicos conceptos se diseñan los números que se colocan sobre el tablero de rithmomachia (que se ve en la foto de arriba). Jugar para aprender... en realidad un procedimiento nada nuevo.

Les cuento más. Los griegos clásicos construyeron todo su arte sobre la teoría de las proporciones. Resulta ser que la proporción preferida es la que hoy llamamos razón áurea, que consiste en cortar un segmento en dos partes desiguales, de manera que la razón (o cociente, o división) entre el segmento completo y la parte mayor del corte sea la misma que la existente entre dicha parte mayor y la menor. La razón áurea con el tiempo permitió identificar un número especial, que se llamó el número de oro, relacionado tanto con el número 5 como con el pentágono regular. Es irracional, lo que en matemática se refiere a la extraña particularidad de tener una parte decimal con infinitas cifras que no llevan un patrón de formación constante; con cinco decimales es igual a 1,61803. Hacen multitud los libros que muestran la presencia del número de oro en innumerables obras de arte antiguas y modernas. Pero, aunque parezca cosa de locos, el número de oro tiene que ver con los conejos.

En el siglo XIII un matemático a quien apodaban Fibonacci, se dio cuenta que a partir de una pareja de conejos la población crecía según la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, etc., en la cual cada número que se escribe es la suma de los dos últimos que se escribieron. (Los dos primeros unos corresponden al conejo y la coneja inicial.) Fíjense que la sucesión puede continuarse todo lo que se quiera, es decir, uno puede seguir escribiendo números (cada vez más grandes) siguiendo la regla anterior hasta que lo lleven a la tumba. Lo interesante es que si a cada uno de esos números uno lo divide por el que dejó atrás entonces el resultado se parece cada vez más al número de oro (¡busca la calculadora, lector!). En otras palabras: la sucesión de Fibonacci contiene dentro de sí -de manera solapada- al número de oro.

¿Y qué tiene que ver esto con rithmomachia? Pues, resulta que Tomás Guardia es un fanático del número de oro; tanto así que piensa que a la ecuación de Euler (considerada una de las más bellas -si no la más bella- de la matemática) lo único que le falta es el número de oro. Y entonces en una oportunidad se puso a juguetear con los números de rithmomachia y consiguió cosas que se parecen al número de oro. Yo recordé la película π, orden en el caos de Darren Aronofski, en la que el mentor del protagonista Max lo previene de ponerse a buscar números, pues quien busca un número siempre lo encuentra: esa es la esencia de la numerología, "ciencia" tan alabada por los habladores de pistoladas que ocupan los espacios televisivos matutinos.

No obstante en la esencia del número de oro está el sutil concepto de infinito: se supone que para llegar a él por medio de la sucesión de Fibonacci tendríamos que escribir los infinitos números de la sucesión, cosa imposible para la dinámica de la vida, mas no para el poder de la imaginación. Eso es lo que hace el matemático: imaginar. Imaginamos entonces Tomás y este servidor que quizás hubiera una manera de convertir el tablero de rithmomachia en un tablero infinito, manteniendo aun vivo el espíritu de Boecio y su milenario texto, vale decir, mantener el espíritu pitagórico. ¡Resultó que se podía! Y... ¡a qué no adivinan! Se pudo justamente con la sucesión de Fibonacci. (Vale la pena comentar que Boecio vivió de 480 a 524 d. C., mientras que Fibonacci lo hizo de 1170 a 1250 d. C.) 

Por mucho que algunos la vean como materia muerta, la matemática tiene vida propia. No hay nada que se descubra en matemática que no traiga nuevas preguntas. Lo primero es que las cosas que se descubren tienen que recibir un nombre, hay que bautizarlas; por razones etimológicas, los números que descubrimos quisimos llamarlos sucesiones fibocuadráticas (¿suena complicado? ¿díganme qué les parece esternocleidomastoideo?) Y resultó que, de manera muy natural, las sucesiones fibocuadráticas también guardan solapadamente al número de oro... ¡una manera muy satisfactoria de convertir la numerología original de Tomás en matemática genuina!

Pero el nuevo engendro siguió cobrando vida. Pasa que como la sucesión de Fibonacci es una especie de mina inagotable de resultados matemáticos hermosos, en el siglo XVII el astrónomo Giovanni Cassini consiguió una muy bella relación entre tres términos consecutivos cualesquiera de la sucesión de Fibonacci. Resultó natural -aunque no necesariamente se cumpla siempre esta condición histórica- que a esta relación se le llamase identidad de Cassini. Pues bien, en esta jugadera con rithmomachia a nosotros se nos atravesó varias veces en el camino la identidad de Cassini, hasta que llegamos a una fórmula que no involucraba solo tres términos de la sucesión de Fibonacci, sino cualquier número de términos de la misma. Más todavía: la fórmula nuestra se aplica a cualquier sucesión que se parezca (en cierto sentido) a la sucesión de Fibonacci. Resulta entonces que esta fórmula es una extensión de la identidad de Cassini. Todo eso escondido en un juego medieval pensado para ayudar a leer un libro de aritmética.

Ya con esto es suficiente. Para finalizar aquí basta decir que la cadena de preguntas no se ha parado, pero como se desprende del discurso de Morgan Freeman, pocas cosas son mejores que divertirse con lo que se hace como actividad de vida. Por eso esta descripción -que no debe parecerle a nadie algo extraordinario: es lo que hace habitualmente el matemático; cada día se logran cosas como ésta y aun más profundas e interesantes- lo que trata es de despertar en el profano de nuestra ciencia un sentido de su propia dinámica, de su manera particular de abordar sus realidades; mostrar que no es un sarcófago en el que sumos sacerdotes practican necrofilia intelectual. Es un organismo vivo y de colores brillantes.

Los trabajos matemáticos se presentan a la comunidad científica en un formato que se denomina con un anglicismo: paper. Nuestro paper puede conseguirse en este enlace, para aquellos de ustedes que tengan la curiosidad.

El teorema cero

La distopía -palabras más, palabras menos: la utopía negativa- es un género que padece de algunas constantes pero, evidentemente, la más persistente entre éstas es el temor a la violación de la naturaleza humana, preferiblemente por alguna entidad suprapersonal, que puede tomar el control del individuo sobre la base de alguna armazón social especialmente elaborada para ello. Formas diversas del Big Brother o Gran Hermano orwelliano se imponen, por lo general a uno o varios protagonistas que, por determinada razón particular, pueden o podrán adquirir una forma de conciencia que les permitirá entender los términos de opresión que sus contemporáneos no pueden comprender y de los que, además, se sienten felices. 

El género distópico es afín a Terry Gilliam (Brazil, Doce monos) y lo ha manejado con éxito, al menos en las dos producciones mencionadas. El teorema cero (2013) repite gran parte de las constantes, al punto que hace recordar tanto sus producciones anteriores como cintas ajenas: a veces vemos trozos de 1984 de Ratford, de Fahrenheit 451 de Truffaut (ambas basadas -como se sabe- en las novelas de Orwell y Bradbury, respectivamente) de Matrix de los Wachowski y de filmes más recientes como Her de Jonze. A pesar de todas esas semejanzas, no creo que pueda decirse de El teorema cero que no se trata de una película original, por el contrario -una vez aceptadas las premisas del guión (a cargo de Pat Rushin)- el hilo de la película te enreda fácilmente en su madeja, para lo cual Gilliam contó nada menos que con el protagonismo de Cristoph Waltz (aquel infame militar nazi de Bastardos sin gloria de Tarantino), quien se encarga de identificarnos emocionalmente con el terriblemente tímido, temeroso y solitario Qohen Leth, inteligente programador al servicio de Mancom, corporación cibernética cuyo lema es Todo está bajo control.

Mancom ha de resolver el gran problema del Universo: el del cierre del Big Bang... he ahí el teorema cero. Los cálculos parciales predicen con altísima probabilidad (más del 90%) la futura presencia de un agujero negro que lo absorberá por completo, hasta reducirlo de nuevo a un punto de dimensión cero. (Al margen: esta explicación me llevó a Nietsche. ¿Volverá a estallar de nuevo este punto? ¿Lo hará en las mismas condiciones que su predecesor? ¿Se repetirá nuevamente el Universo con nuestras actuales venturas y desventuras?... Gilliam no participa de este enigma y solo hace decir a su protagonista: ¿Cómo puede alguien creer en algo tan horrible?) Pero Mancom -liderada por Dirección, un enigmático e irreal Matt Damon- no está conforme con ese exceso sobre el 90%... Cero solo es posible con el 100% de probabilidad.

El encargado de llegar al teorema es un misántropo, convencido de la inmediatez de su muerte, quien espera una misteriosa llamada telefónica que le revelará grandes, esperados y deseados secretos. A partir de la asignación de la tarea, diversos personajes se entremezclarán en su vida, generando un giro de 180 grados, a consecuencia del cual Qohen cambiará radicalmente sus expectativas de vida. El final de la película nos dice que aun cuando "esperanza" viene del verbo esperar, a veces la Esperanza aparece de lo inesperado.

El elenco actoral que acompaña a Waltz en esta película, está a la altura del compromiso. Matt Damon -en un papel que algunos llaman cameo, con lo que no estoy de acuerdo- le da vigor a una Dirección que debe tener forma humana, aun cuando solo sea una imagen. Melanie Thierry está profunda en su papel de tierna prostituta, despojada de su oficio por arte del amor, aunque por encargo. Tilda Swinton, como programa de psicoanálisis al servicio de Cohen, bizarro papel dentro de los tantos bizarros que ha representado la Swinton con maestría (recordemos la reciente anciana enamorada de El Gran Hotel Budapest). David Thewlis, el impertinente supervisor que agota la paciencia de Qohen. Lucas Hedges, en una impresionante caracterización del adolescente genio de la computación, hijo de Dirección que gana la amistad genuina del protagonista.

La música de George Fenton y la fotografía de Nicola Pecorini contribuyen al clima opresivo de la película -excepto en los pocos momentos felices del personaje, en los cuales también hacen pareja emocional- rematando así la hechura de un producto recomendable.

El premio Nobel en matemática o De cómo hay chisme en la ciencia

 

La chismografía es una actividad tan, pero tan humana que no hay manera de estar en un ambiente donde haya al menos tres personas y que dos de ellas no tengan algo que comentar de la otra. Algunos me tildarán de exagerado y no faltarán quienes quieran regar el chisme de que en realidad lo digo por experiencia propia, no obstante el asunto viene a colación por un embuste diseminado desde hace ya mucho tiempo, nada más y nada menos que en las más altas esferas de la ciencia. Se trata de la supuesta razón de la inexistencia de un premio Nobel de matemática. Resulta que a los chismosos les dio por decir que la esposa de Alfred Nobel -en pleno ejercicio matrimonial con el inventor- pasó algunos ratos agradables en la cama del matemático sueco Gösta Mittag-Lefler. A los chismosos, sin embargo, no les ha importado saber que Nobel murió soltero y ante esta evidencia han ripostado que en realidad el levante fue a la amante del inventor... ¡y que eso duele más!

La evidencia histórica parece convenir en una verdadera rivalidad entre los dos compatriotas pero su real naturaleza no está clara. Ambos -inventor y matemático- eran hombres dedicados al asunto de los negocios, actividad en la cual destacaron tanto como en el aspecto intelectual, entre otras cosas porque se proponían ser los primeros en cualquier actividad en la cual participaran. Para nadie es un secreto que poderoso caballero es Don Dinero y que, si es capaz de separar familias, no va a tener consideración con amistades. Sea como fuere, vale la pena observar que en la redacción del testamento de Nobel, los premios científicos deben concederse "al invento o descubrimiento" más importante. Esa redacción muestra que su propia condición de inventor -con la que amasó su considerable fortuna- definía un espíritu en la concesión del premio: se buscaba premiar aportaciones de orden práctico; la frase "invento o descubrimiento" habría sido difícil escribirla en relación con la matemática, ya que su primera parte -en la época de Nobel- se hubiera referido a un conjunto vacío. Un ejemplo interesante es que a Einstein no se le dio el premio por la teoría de la relatividad, sino por el efecto fotoeléctrico, cuyas consecuencias prácticas ya se conocían.

Como la chismografía es forma de mal decir (y quizás también de maldecir) vale la pena insertar en este artículo otra de las posibles motivaciones del premio Nobel. Alfred Nobel hizo su fortuna trabajando en la industria de armamentos: era un mercader de la guerra, y dentro de sus 355 inventos (bélicos, la mayoría) destaca la dinamita. Resulta que el hermano de Alfed, Ludvig, murió ocho años antes que el inventor; algún chismoso (se distinguen porque no verifican bien sus informaciones) al ver el apellido Nobel creyó que se trataba de Alfred y escribió un obituario al mismo, titulado El mercader de la muerte ha muerto. Nobel no reaccionó como el humorista Mark Twain que cuando leyó su propio obituario contestó: La noticia es cierta, pero algo prematura, sino que comenzó a preocuparse por la forma en que la posteridad lo recordaría. Eso bastó para que abandonara la carrera que lo había encumbrado a la fortuna y comenzara aquella que lo encumbró hacia la fama.

Para cerrar el asunto del Nobel, vale la pena comentar también que en las primeras emisiones del premio una de las personalidades consultadas para su concesión fue precisamente Gösta Mittag-Leffler, quien gozaba de amplio respeto en la comunidad científica internacional por su impecable carrera en el campo matemático. Ahora bien, Mittag-Leffler también conoció en 1901, en Gran Bretaña, al matemático canadiense J. C. Fields quien a su brillante carrera como investigador matemático, añadía un profundo sentimiento pacifista que lo llevó a rechazar y combatir, de maneras inteligentes, la segregación que después de la Primera Guerra Mundial hiciera la Unión Internacional de Matemáticos con los matemáticos provenientes de las naciones que integraban las llamadas "potencias centrales" (Austria, Alemania, Hungría y Turquía).

Cuatro años antes de su muerte, Fields propone un premio para promover la investigación matemática de largo aliento y desde su lecho de enfermo, donó 47000 dólares de su propio pecunio para alimentar los fondos de dicho premio. No logró ver los frutos de su propuesta, pero hoy el premio Fields se considera el Nobel de la matemática, aunque no se entrega todos los años sino que se hace cada cuatro años, comenzando desde 1936, aun cuando la guerra obligó a dar el segundo premio en 1950. Este año toca una entrega del premio. (Es solo una coincidencia que las medallas Fields se entreguen el mismo año de los campeonatos mundiales de fútbol, no obstante parece ser que la gente está algo más pendiente del fútbol que de la medalla Fields.) La medalla Fields solo la pueden obtener matemáticos menores de 40 años; según parece alguien dictaminó que de esa edad en adelante la creatividad matemática entra en un declive algo empinado. La medalla viene acompañada por 10000 euros, que se reparten entre todos los ganadores, que no pueden ser más de cuatro por entrega.

Recientemente el hipermillonario Yuri Milner, junto con el fundador de Facebook, Mark Zuckerberg han creado un sorprendente premio para los matemáticos, del que dezconozco si lleva diploma o medalla, pero viene con la nada modesta suma de tres millones de dólares. Este año -el primero del premio- fue conferido a los matemáticos Jacob Lurie, Terence Tao, Maxim Kontsevich, Richard Taylor y Simon Donaldson. Algunos detalles los pueden conseguir en este enlace. 

El premio Nobel ha sido rechazado -voluntaria o involuntariamente- en seis oportunidades. En toda su trayectoria la medalla Fields no había sufrido ningún desaire, hasta que en 2006 el excéntrico Grigori Perelman, quien resolvió la Conjetura de Poincaré, decidió no aceptarla manifestando que no le interesaba ni ése ni ningún otro premio. Lo confirmó cuatro años después cuando rechazó el premio del Instituto Clay por la bicoca de un millón de dólares. Dijo: "No he hecho nada que valga eso" o algo parecido.

Cuando le comenté esta anécdota a mi esposa, ella -que, por lo visto, me tiene mucha confianza- me advirtió: "Mucho cuidado si a ti se te ocurre algo como eso". Le contesté que no se preocupara, que en mi caso "eso" no iba a suceder. No sé si entendió el sentido exacto de mis palabras, pero se tranquilizó.

Florence Nightingale: un nombre para la estadística

 

 Si esta entrada tuviera la suerte de ser leída por algún profesional o estudiante de enfermería o cualquier disciplina médica, es posible que este amable lector se sienta algo confundido porque un blog dedicado a la matemática o al cine, lleve el nombre de quien tanto dio a la profesión de la enfermería al punto de que el Día Mundial de la Enfermera se celebra el 12 de mayo, fecha de nacimiento de una de las protagonistas de esta entrada. 

Más allá del hecho de que el Día de la Enfermera se haya asociado al género, por uno de esos deslices a los que nos lleva la dinámica social, a nuestro lector le complacerá saber que Florence Nightingale (la primera, porque hay otra) dedicó buena parte de su vida intelectual al estudio profundo de la matemática a pesar, por supuesto, de la resistencia familiar ante la que reclamó su derecho a no pasar la vida dedicada al tejido y la organización de cuadrillas de baile. Su voluntad obligó a la búsqueda de un tutor en matemática quien resultó ser, nada más y nada menos, que James Sylvester, coautor junto con Arthur Cayley, de la teoría de los invariantes algebraicos. Pero fue su contacto con Quetelet el que la condujo a su amor por la estadística. 

La actividad de Florence en el campo de batalla en la famosa y cruenta guerra de Crimea, donde ganó su bien merecida fama como enfermera, la condujo a aplicar sus conocimientos matemáticos al estudio de las condiciones de los hospitales de guerra británicos y demostró, a pesar de la acritud masculina, la necesidad de la reforma del sistema hospitalario. Para ello echó mano a un recurso estadístico de su invención: el gráfico polar. Cuando por fin logró hacerse oír, su propuesta de reforma redujo los fallecimientos en unos porcentajes realmente importantes.

Nightingale murió a los 90 años en agosto de 1910. Un año antes, en este mismo mes, la familia David, amiga y admiradora de la ya longeva enfermera, recibieron la dicha de una bebé a quien pusieron el nombre completo de su ilustre amiga, por lo cual la niña fue reconocida como Florence Nightingale David. Alguna influencia ejerció el nombre, pues desde muy temprano la infanta orientó sus pasos hacia la matemática y la estadística. A los veinte años ingresa a una institución universitaria femenina con la intención de realizar su sueño de vida: adquirir la profesión de actuario; en dos años de estudio obtuvo un grado en matemática.

Ejercer como actuario le fue negado porque no era profesión para mujeres, pero su padre la instó a no dejarse amilanar por la segregación de género. Entró en contacto con el distinguido estadístico Carl Pearson, quien reconoció sus grandes dotes y la introdujo en el mundo académico donde la fémina, a pesar de la discriminación constante, desarrolló un trabajo de investigación y publicaciones que ya hubieran querido para sí muchos de aquellos que estúpidamente la discriminaron.

Florence Nightingale David murió en 1993, un mes exacto antes de cumplir sus 84 años. Ocho años después fue creado un premio con su nombre para galardonar a las féminas cuyo aporte a la estadística sea notable.

Borges y su negocio con el infinito

 Es Cantor el padre de la herejía que le da carácter de sujeto al infinito. El tímido y colérico alemán pagó con su sanidad mental el atrevimiento que el propio Aristóteles cobró a Antifón, al suponer éste la circunferencia como un polígono de infinitos lados. Terror tenía el griego (usando el monismo borgiano, Aristóteles era un griego y todos los griegos a la vez) a la posible sustancia de la que pudiera estar hecha un concepto tan devastador; no en balde el estagirita afirmó: “Es también evidente que no es posible que lo infinito exista como un ser en acto o como una substancia y un principio”. La humanidad toda -pues los occidentales nos asumimos la Humanidad- vivió hasta la segunda mitad del siglo XIX cobijada bajo la sombra de este terrible dictamen; solo colocando a Dios como escudo protector pudieron Agustín y Tomás atreverse a horadar la terrible barrera que imponía la obligada potencialidad del infinito. Este último, luego de establecer la infinitud esencial de Dios, se ve obligado a aclarar la permanencia de su perfección: “Aunque lo infinito en las cantidades corporales sea una imperfección, lo infinito en Dios demuestra una perfección suprema”.

De la revolución científica del siglo XVII fue beneficiaria principal la matemática, disciplina que vivió hondo letargo en la Edad Media y a la que el Renacimiento vio despertar, principalmente por la vía de los algebristas y el audaz aporte cartesiano que mostró forma y número como visiones distintas de una misma imagen mental. No obstante, es la aparición del cálculo quien produce una feliz -aunque debatida- explosión de resultados, sobre la que cayeron inopinadamente las más brillantes cabezas de la época, sin oír las voces agoreras de quienes reclamaban que el festín merecía mejor organización. En el fondo de todo, la dificultad estaba de nuevo en el infinito y el intento de enderezar el lenguaje -que no los resultados- colocó otra vez el horror griego como ductor de las nuevas conductas. La paz relativa que produjo esta vuelta al pasado se vio enturbiada, sin embargo, porque por los recovecos de la propia matemática reclamaba su justo espacio el infinito actual: ese paso último, ese llegar al límite de lo inalcanzable, que nunca perdió su disposición a enfrentar la barrera del horror. Georg Cantor fue el apóstata que desafió la barrera.

La inmensa cultura de Jorge Luis Borges no se agotaba -como muchas otras erudiciones- en ese espacio que -con muy limitada visión- se ha dado en llamar humanidades. Por el contrario, toda su obra se impregna de una profunda exploración del concepto de infinito, a partir de la cual cobran vida buena parte de sus más hermosas páginas. Pero, al igual que Arquímedes, su maravillarse del infinito lo produce en principio la contemplación de lo finito en magnitudes asombrosas; así, tan temprano como en 1930, sus divagaciones sobre el juego del truco en Evaristo Carriego lo llevan a explorar el asombroso tamaño del número que los matemáticos llaman 40 factorial, esto es, “1 por 2, por 3, por 4, ..., por 40”, resultado al que califica como “cifra delicadamente puntual en su enormidad, con inmediato predecesor y único sucesor, pero no escrita nunca. Es una remota cifra de vértigo...” (Difícil para el joven Borges prever que años después las computadoras harían que este número de 48 cifras no pareciera tan grande, al lado por ejemplo de las fútiles presentaciones del número irracional π con billones de cifras decimales.)

Dos años después, en Discusión, ya su prosa se sumerge en las aún recientes controversias matemáticas que reclaman al infinito el conducir a nuestra pobre y limitada mente ante la presencia de la paradoja, ésa que ya Zenón anticipó al negar el movimiento y cuyo audaz análisis aborda el argentino en La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga y en Avatares de la tortuga. Las refutaciones al argumento eleático sirven para que Borges haga literatura, a partir del principio cantoriano que singulariza al infinito como violador del axioma euclidiano según el cual el todo es mayor que la parte, pues de hecho reclama para sí esta negación como su propia definición. Una terna de correspondencias infinitas de todo a parte -asumidas a manera de ejemplo- benefician la tesis argüida por el porteño, tomada en préstamo de las ideas del alemán.

Mas tales constataciones no disminuyen en el escritor el horror al infinito. No de otra manera se puede entender que afirme: “Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros. No hablo del Mal cuyo limitado imperio es la ética; hablo del infinito”. Pero el infinito como una potencialidad no produce más temor que la reverencia que profesamos hacia los números extraordinariamente grandes, como 40 factorial; el temor verdadero lo genera el infinito actual, aquel que genera abismos que solo se pueden describir así: “La parte en estas elevadas latitudes de la numeración, no es menos copiosa que el todo: la cantidad precisa de puntos que hay en el universo es la que hay en un metro de universo, o en un decímetro, o en la más honda trayectoria estelar.”

No deja Borges de visitar su propio horror en textos posteriores como Historia de la eternidad  y La doctrina de los ciclos -ambos del libro Historia de la eternidad de 1936- , insistiendo permanentemente en la refutación de los argumentos eleáticos, pero no abandona en todos estos textos el tono de ensayo, quizás más anejo al oficio de articulista que al de afamado cuentista que llegó a ser. Cinco años habría que esperar para que en 1941 en el doble volumen Ficciones, el primero de ellos: El jardín de senderos que se bifurcan nos sorprendiera con visiones ficcionales pobladas por el infinito como personaje principal. Tales son (sin dejar de mencionar la precisa matemática que camina los anteriores cuentos del texto) los casos de La Biblioteca de Babel y el relato que da nombre al libro. Ambos relatos sumergen al lector en una de las más invocadas angustias borgianas: el laberinto. Es fácil caer en el laberinto: basta con un proceso recursivo, vale decir, uno que se convoque a sí mismo para poder existir, del que son manifestaciones: la repetición de las imágenes en el espejo, el soñar que se sueña o la voluntad que depende de un ser superior. Con la primera nos sorprende el argentino muchas veces como en Tlön, Uqbar, Orbis tertius (“... los espejos y la cópula son abominables porque multiplican el número de los hombres...”) y en la misma Biblioteca doblando vanamente los infinitos hexágonos; la segunda le hace recordar a Tsun Tzu quien sueña que se soñaba convertido en mariposa y la tercera representada canónicamente quizás por la estrofa tantas veces declamada:
                        “Dios mueve al jugador, y éste la pieza
                         ¿Qué Dios detrás de Dios la trama empieza
                         De polvo y tiempo y sueño y agonías?”

Artificios, el segundo volumen de Ficciones, arranca con Funes, el memorioso, crónica de la vida de un hombre incapaz de conceptualizar porque su terca memoria no le permitía abandonar ningún dato, capacidad que le lleva al intento de abarcar uno a uno cada número natural; potencialidad imposible de convertir en acto ante la limitación de una vida finita. Aleph sub cero llamó Cantor al número de este infinito pensado en acto y la letra hebrea aleph se convirtió en símbolo de los múltiples cardinales infinitos que su osada teoría pondría en evidencia; Mengenlehre es el nombre de la teoría en su castizo alemán y de ella hace mención explícita Borges en la postdata de su más renombrado cuento: El Aleph. Pero es que el temerario objeto que da título al relato (y al libro homónimo, escrito en 1949) solo puede ser concebido por una mente capaz de entender que “la cantidad precisa de puntos que hay en el universo es la que hay en un metro de universo, o en un decímetro, o en la más honda trayectoria estelar”, como ya había anticipado en Discusión. (Al margen: Mengenlehre en español es teoría de conjuntos.)

Para concluir esta no tan breve entrega -aunque ejemplos hay que podrían llenar un libro- en 1975 el porteño nos regala El libro de arena que cierra (aparte de un epílogo que quiere prohibir un prólogo) con relato homónimo (¿tendría algo que ver con este título El arenario de Arquímedes?). En este cuento espeluznante se adueña Borges del infinito continuo, ése que Cantor no supo dilucidar si podía ser llamado aleph sub uno. Concebido dentro de las dos tapas de un libro, este infinito confiere a las páginas de tal volumen la misma seguridad que da intentar encontrar un número dentro del intervalo de los que están entre 0 y 1: será hallado con probabilidad cero. El lector debe aprovechar cada página que consigue: una vez pasada, no se podrá volver a ella; ninguna tendrá predecesora, ninguna tendrá sucesora. Es tal el espanto que produce, que quien gastó su jubilación para comprarlo decide perderlo con oprobio en un ignoto anaquel. El griego, aun vencida su resistencia, nos legó -intacto- su horror.