Los conejos de Fibonacci

Una entrada anterior nos despidió conversando acerca de la belleza, la cirujía plástica y sus relaciones con el número áureo. ¿Recuerdas, lector, cómo se obtiene este número? Permíteme refrescar: se divide un segmento en dos partes desiguales de manera que la relación de tamaño entre todo el segmento y la parte mayor sea igual a la que hay entre la parte mayor y la parte menor. Cuando se realiza cualquiera de estas dos divisiones, el resultado ‒no importa el tamaño del segmento‒ debe ser el número 1,618, conocido por los matemáticos como Φ (Phi).

Lo interesante del caso es que el número en sí ‒o la relación, vale decir‒ está asociado con la belleza, a tal punto de que el cirujano plástico norteamericano Stephen Marquardt lo usa como la base de su principal artefacto de trabajo: la máscara de Marquardt.

Quizás más interesante que esto ‒aunque posiblemente menos noticioso‒ es el hecho de que Φ está también relacionado con el crecimiento de los conejos. La relación tiene que ver con un problema estudiado por un matemático del siglo XIII d. C., conocido por el sobrenombre de Fibonacci. Tal apodo le viene a Leonardo de Pisa por ser hijo de un Guglielmo de la famila Bonacci, así pasó a ser filus Bonaci reducido luego a Fibonacci, como lo conoció la historia.

Lo cierto es que este Fibonacci era un hombre de una mentalidad muy avanzada para su época. Lo demuestra el hecho de ser un europeo dedicado al estudio de la matemática en una época en que a Europa le interesaba nada o casi nada la materia. Pero es que Fibonacci era un viajero y sus viajes lo colocaron en contacto con los árabes, quienes sí pasaron la edad media tratando de preservar el conocimiento matemático griego y resolviendo novedosos problemas algebraicos.

Fibonacci escribió varios libros, entre ellos uno con el nombre de Liber abaci, en el cual propone a la obtusa Europa, absolutamente apegada a la poco práctica numeración romana, el sistema de numeración apropiado por los árabes de los hindúes y que ahora conocemos como numeración arábiga, la misma que usamos hasta los días de hoy.

En Liber abaci, Fibonaci propone este problema: Un hombre coloca un casal de conejos entre cuatro paredes; si se supone que cada mes un par de conejos engendra un nuevo par que, a su vez, será productivo a partir del segundo mes, ¿cuántos conejos habrá en un año?

No es difícil la respuesta al problema, se trata de una sencilla aritmética. Estudiado mes por mes, el número de parejas de conejos sigue una sucesión de la siguiente manera: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, etc. En esta sucesión cada término que se escribe es la suma de los dos últimos ya escritos. Por razones obvias se le denomina sucesión de Fibonacci. Un hecho notable relacionado con la sucesión de Fibonacci es que si vamos dividiendo cada término que aparece por el que quedó atrás, cada una de las divisiones o cocientes se parece cada vez más a Φ, la relación áurea. En el lenguaje matemático se dice que los cocientes de términos sucesivos de la sucesión de Fibonacci convergen a Φ.

De la geometría a la zoología y de la zoología a la cirugía plástica. Lector... la matemática tiene sus modos de sorprendernos, ¿no te parece?

Recomiendo y desrecomiendo

Recomiendo

Violeta se fue a los cielos

Película chilena de Andrés Wood, protagonizada por Francisca Gavilán, quien debería pasar a la historia del cine a partir de esta actuación. La vida de la cantautora chilena contada en un hilo narrativo, que se enhebra sobre una entrevista televisiva que la artista dio en Argentina. La profunda vida amorosa del personaje gira alrededor de uno de sus más grandes amores: Gilvert Favre y nos hace sentir que la mayor parte de su obra creativa provino de tal experiencia. La película tiene un manejo del tiempo que a veces hace difícil su comprensión, pero es un relato convincente y desgarrador. En la banda sonora hay una ausencia que sorprende: Gracias a la vida.

Desrecomiendo

La sirvienta

Ésta es de Corea y el cine coreano nos ha dado películas maravillosas como las de Kim Ki Duk, por ejemplo. Pero La sirvienta de Sang-soo Im no entra dentro de esta categoría. El dueño de la casa (apuesto y rico) seduce a la nueva sirvienta -absolutamente atractiva como es de suponer- aun cuando su esposa es sexualmente activa, a pesar de  su prolongado embarazo de mellizos que, como es natural, le significa una enorme panza. El consecuente embarazo de la sirvienta generará una secuela de pasiones digna de una telenovela criolla, con el ingrediente fundamental de la presencia de buenos buenotes y malos malotes... nada intermedio. El final no lo cuento por si acaso a alguien que le guste las telenovelas quisiera verlo.

 

Ada y Babbage: ciencia e imprudencia

¿Sabías, lector, que la primera persona que escribió un programa para computadoras fue una mujer? ¿Y que, además, era hija de un poeta: el gran Lord Byron? Se llamaba Ada Byron, (1815-1852) heredera particular del talento de su padre, aunque orientado por las inquietudes de su madre, pues ésta prefería la matemática a la poesía, a tal punto que su famoso marido cambió su nombre de Anabella Milbanke al sobrenombre de "Princesa de los paralelogramos". El matrimonio del poeta y Anabella fue fugaz y, según parece, lo único rescatable que dejó fue la talentosa niña.

Ada Byron escribió su programa en la flor de la juventud, pero lo malo del asunto es que el dichoso programa nunca pudo ser probado, por la sencilla razón de que la máquina que lo ejecutaría -la máquina analítica- nunca fue terminada de construir.

Y es que esta historia tiene sus cosas, porque el encargado de construir la particular máquina era uno de los sabios más connotados de Inglaterra para la época: el gran Charles Babbage, quien había convencido con anterioridad al gobierno británico para que le financiase otro proyecto fallido de máquinas de cálculo automático: la máquina de diferencias. Esta máquina y la máquina analítica eran primitivas formas mecánicas de lo que hoy llamamos computadoras. Triste fue que ninguno de los dos proyectos de Babbage llegó jamás a ver la luz.

No nos hagamos una mala idea de este caballero. El tiempo demostró que todos sus conceptos eran acertados en lo esencial. Sin embargo, las cantidades de energía necesaria para hacer funcionar sus máquinas con puras partes mecánicas, nunca estarían a la disposición. Cuando lo mecánico se sustituyó por pasos de pequeñas corrientes eléctricas, es decir cuando apareció la electrónica, entonces la computadora pudo estar a la disposición del hombre, con esquemas de cálculo y lógica idénticos a los propuestos por Babbage, lo que hizo que la posteridad denominara a éste con el mote de Padre de la computadora.

Ada Byron y Charles Babbage se conocen en el año de 1834, en una visita que la joven dama de 17 años hiciera al taller del ya maduro inventor y matemático. La fama de Babbage era tal que ir a conocer este taller formaba parte de los pasatiempos de la gente acomodada de la época y Ada lo hizo acompañada, nada más y nada menos, que de la notable científica Mary Sommerville y de Sophia Morgan, esposa del gran lógico Augustus de Morgan. Un trío de mujeres relacionadas colateral o activamente con la ciencia no era un espectáculo común en la ya conservadora época previctoriana.

Se inicia entonces lo que pudiera llamarse un matrimonio científico, pues la muchacha comprende de inmediato el funcionamiento de la máquina, escribe un libro sobre la misma y, como ya mencionamos, escribe un programa, el cual consistía en calcular unos números llamados números de Bernouilli, en honor al matemático que los había descubierto en el siglo anterior.

Bueno... todas estas cosas se quedaron en el tintero: las visiones de Babbage eran muy adelantadas para su época. Pero, de la misma manera, su genialidad lo llevó a la imprudencia, en la que arrastró a la bella Ada quien, ostentaba el título de condesa de Lovelace, por ser la esposa del acaudalado conde William Lord King.

El caso es que Babbage llegó a considerar muy seriamente que había descubierto una fórmula infalible para ganar las carreras de caballos, lo que serviría para el financiamiento de sus proyectos científicos. Convenció a Ada de ello y ésta convenció a su marido. Y nadie –óigase bien: ¡nadie!– va a encontrar fórmulas infalibles para ganar en los juegos de azar. Al final la familia King Byron quedó en la bancarrota; matrimonio e inventor se pelearon y hasta allí llegó la cosa.

El primer lenguaje de programación diseñado para la armada de los Estados Unidos se llamó Ada, en honor a nuestra heroína.

Proof de John Madden o el drama de heredar el talento

A Roberto Bravo, en celebración de nuestras felices coincidencias.

Ya parece un lugar común asociar el ejercicio de la matemática a la locura; el cine no escapa de esta tendencia. Las pocas veces que el séptimo arte nos ha hecho el honor de incluir la disciplina en sus líneas argumentales, los papeles de matemático suelen estar asociados a desórdenes mentales. Si nos damos un paseo por este "género" conseguiremos cosas buenas o bastante aceptables como π, ópera prima de Darren Aronofski; En busca del destino (Good wil hunting) de Gus Van Sant o la muy popular Una mente brillante de Ron Howard, a la que no le quedaba más remedio ya que se trataba de la vida de John Forbes Nash, un matemático esquizofrénico que se hizo acreedor al premio Nobel.

Algún lector me podrá ripostar con algo como El espejo tiene dos caras de Barbra Streissand, pero no dejará de reconocer que el personaje aburrido de la película es precisamente el matemático y no la profesora de literatura, por lo cual no nos abandonan aquí los estereotipos. (Bueno... no podíamos esperar que la Barbra asumiera el papel de fastidiosa en su propia película, pero de haber sido una matemática divertida hubiera logrado varias redenciones: como mujer, como matemática y en favor de una disciplina estigmatizada por sus estereotipos.) Otra cinta que le podrían echar en cara a mi tesis es Los crímenes de Oxford de Alex de la Iglesia, donde el principal defecto del protagonista matemático es una profunda vanidad, y aquí no habría nada que decir pues se identifica mucho de eso en el medio.

John Madden, que en los días que corren pasó muy fugazmente por nuestra cartelera capitalina con El exótico Hotel Marigold y quien se ganó el Óscar (e hizo que lo ganara Gwyneth Paltrow) con Shakespeare apasionado, dirigió en el año 2005 una de esas películas que nuestros distribuidores nacionales deciden que no es para nosotros. Se trata de Proof (en España se llamó La verdad oculta), una película en la que repite a Gwyneth Paltrow colocándola al lado -nada más y nada menos- de Sir Anthony Hopkins. Ambos muy aceptables en sus papeles (Hopkins destaca más que Paltrow) pero, a su pesar, la película no deja de arrastrar cierta lentitud que a ratos es exasperante.

Lo cierto del caso es que Hopkins interpreta a Robert, un matemático (loco... ya no hay sorpresas) que comienza como un hombre de producción brillante en sus años mozos -otro estereotipo, pero esta vez dentro del propio ambiente matemático- época en la que produce una obra extraordinaria (aparentemente en teoría de números) antes de que su mente colapsara. Catherine (Paltrow), una de sus hijas, se plantea en un momento dado seguir carrera matemática y su propio desempeño en la disciplina la pone frente al dilema más grande de su vida: ¿qué ha heredado de su padre: la genialidad o la locura?

Claras o veladas aparecen en este drama críticas a sacrosantas instituciones. La Academia no es más que una cobarde agrupación de individualistas buscadores de gloria, capaces de solidaridad cuando ya ésta no implica compromiso alguno; no de otra manera se puede interpretar el discurso de Catherine en el velorio de su padre. Las relaciones familiares (o la familia misma) las representa Claire (Hope Davis, impecable), una hermana atosigante, citadina, desdeñosamente segura de sí misma, de hábitos fijos y vida calculada que consigue agudizar en Catherine la dramática duda, hilo conductor del argumento de la película.

A pesar de las actuaciones y lo interesante del tema, la película carece de la fuerza necesaria para inquietar al espectador con su hilo narrativo. Hay momentos de alta intensidad dramática, casi todos con la presencia de Hopkins, pero son hitos aislados en una película de muchas discontinuidades. Por su parte, Paltrow, aunque correcta, no logra convencernos del todo ni hacernos sufrir con su drama personal.

En cuanto a la matemática respecta, he leído críticas que la conciben dentro de la trama como accesoria; en opinión de estos críticos cualquier otra disciplina científica hubiera insertado bien. No consigo manera de argumentar en contra, pero es difícil pensar cómo un grupo musical integrado por científicos afines pueda "escribir" una canción que consista en tres minutos de silencio, a menos que la canción se llame i. Por otra parte, las alusiones a los primos de Germain o al número 1729 en relación a Ramanujan son absolutamente prescindibles.

La película está basada en la obra teatral del mismo nombre de David Auburn, (en youtube se se consigue en dos partes: ésta y ésta) quien funge de coguionista del film. Gwyneth Paltrow hizo el papel de Catherine en algunas representaciones de la obra en Londres.

Películas y fotos

En nuestro país han desaparecido muchas cosas relacionadas con el cine. De hecho han desaparecido los cines: ahora hay salas de proyección donde la película es una mercancía más, pero posiblemente menos importante que las otras mercancías que también distribuye este negocio: las cotufas, los refrescos, las golosinas. Ya nadie sale de una película a sentarse a conversar sobre ella; consumida la mercancía, lo único que puede trascender de ella no va más allá de un comentario insulso: "Estuvo buena", "Estuvo mala"; después, a otras cosas.

Al desaparecer los cines, desaparecen también, muchas de sus costumbres. Una muy buena y muy motivadora era la de los fotogramas. Debajo de los afiches que publicitaban la película se colocaban, en  pequeño número, unas cuantas fotografías de escenas de la película o -antecedente del "making off"- de detalles de su realización. Recuerdo que ver los fotogramas era algo casi tan placentero como ver la película. Es más, al salir de la película yo iba de nuevo a revisar los fotogramas para reconocer las escenas de la película recién vista.

Como cortesía de mi entrañable amigo Juan Luis Rodríguez tengo en mi poder algunos fotogramas de películas clásicas (algunas de ellas películas de culto para mí) que me gustaría compartir con ustedes. Veamos pues.

Fitzcarraldo

El gusto por la ópera invita a Fitzcarraldo, personaje soberbiamente interpretado por Klaus Kinski, a atravesar la selva amazónica para instalar un teatro en un poblado selvático. Para ello, debe hacerse con una fortuna a partir de la explotación del caucho.

La relación amor-odio que prevaleció entre Werner Herzog (el director de la película) y Klaus Kinski, su actor fetiche, casi lleva la filmación al fracaso. Sin embargo, a pesar de las enormes dificultades técnicas, similares a las que tuvo que sufrir el Fitcarraldo real más las derivadas de la relación comentada, la película se realizó y resultó un éxito de crítica, recibiendo numerosos premios y nominaciones.

¿Quién le teme a Virginia Wolf?

Mike Nichols, el mismo que nos sorprendió con El graduado, había sorprendido ya al mundo del cine con su ópera prima, ¿Quién le teme a Virginia Wolf?, impresionante exploración del mundo de las relaciones humanas y matrimoniales. El tú a tú actoral que montan Richard Burton y Elizabeth Taylor (para la época marido y mujer en la vida real) es verdaderamente épico. Burton no logró ganar el óscar al que estuvo nominado por esta actuación, pero la Taylor sí lo alcanzó, así como Sandy Dennis -como actriz de reparto- miembro femenino de la otra pareja que compartió roles con estos dos gigantes. El cuarto actor fue George Segal, también nominado.

La película es absolutamente teatral, como la obra en la cual se basó, pero sus méritos cinematográficos son indudables. Solo los cuatro actores nombrados aparecen en escena.

La naranja mecánica

A mí me pueden hablar de todas las maravillas de 2001, odisea del espacio y nombrarme los innumerables méritos creativos y estéticos de Barry Lindon, ninguno de los cuales voy a dejar de reconocer en los dos casos; pero nadie puede quitarme de la cabeza que la mejor película de Stanley Kubrick es La naranja mecánica, al punto que tengo que verla por lo menos una vez por año.

¿Quién puede resistir la seductora personalidad de un malandro tan refinado como Alexander de Large, interpretado de manera magistral por Malcom McDowell (quien luego se vino a menos)? Esta película, mal entendida en su momento, es un manifiesto contra la violencia pero se vio como una apología a la misma, lo que le ocasionó no pocos problemas a Kubrick. Hoy, las cosas están claras y la película ha adquirido su lugar permanente en la historia del séptimo arte como uno de sus clásicos.

Los perros de paja

En esta foto se ve al incipiente (pero ya famoso por El graduado) actor Dustin Hoffman en amena conversación con su director Sam Peckinpah, también ya famoso para la época por su inolvidable La pandilla salvaje. Probablemente discutían alguna escena próxima a rodar.

Ésta, que también recibió un juicio equívoco respecto a su tratamiento de la violencia (en el mismo año de La naranja mecánica), igual la cuento entre mis películas de culto y no voy a hacer aquí muchos comentarios de ella porque ya tengo una entrada donde la comento ampliamente. Los invito a leerla.

El cartero llama dos veces

La foto corresponde a una de las escenas más copiadas en la historia del cine: Frank Chambers (Jack Nicholson) le hace el amor a Cora (Jessica Lange) sobre la mesa de preparar el pan. La intensidad de la escena hizo pensar a muchos que hubo sexo de verdad. Hasta Mauricio Wallerstein la copió en la venezolana De mujer a mujer, protagonizada por Daniel Alvarado y Elba Escobar.

La película, dirigida por Bob Rafelson, es un remake de otra con el mismo nombre producida en 1946. Se trata de una tormentosa historia de amor y traición que, como suele suceder cuando se mezclan estos dos ingredientes, se condimenta con el asesinato. La promoción de la película incluía la frase "Si hubiera un undécimo mandamiento, también lo habrían violado". En un momento de la película pensamos que asistimos a un crimen perfecto... pero el desenlace parece decirnos que ni los crímenes perfectos quedan sin castigo.

El sudoku

(Nota de prevención: Este artículo se apoya en unos videos "hechos en casa". Como el dueño de casa no es precisamente un virtuoso en estas lides, quizás los videos cansen un poco. Si este fuera tu caso, lector, en este enlace conseguirás los videos en forma de archivos .pdf para ser ejecutados en modo de presentación.)

Algunas personas leen con prisa la prensa diaria para llegar lo más rápidamente posible al verdadero objetivo de haberla comprado: resolver el crucigrama.

En los últimos tiempos, sin embargo, este pasatiempo ha venido siendo sustituido por otro que se ha mostrado generador de tanta o más pasión que el primero: el sudoku. Tan atractivo jueguito consiste en una tabla cuadrada con 81 cuadritos internos separados en nueve filas de nueve columnas cada una, lo que produce además nueve cuadrados internos de tres por tres. El objetivo del juego es llenar cada fila, columna y cuadrado interno con todos los números del 1 al 9. El juego comienza con algunos de estos números colocados como pistas en posiciones estratégicas; el jugador debe completar los que faltan.

    Tengo amigos que se declaran del todo incapaces para la matemática, pero que a la hora de medirse conmigo en el juego me dan una paliza que me da vergüenza; han desarrollado tal destreza intuitiva que pueden conseguir los números ocultos con una facilidad pasmosa que ni siquiera ellos mismos pueden explicar. Lo que confirma mi repetida tesis de que la matemática es más difícil por el prejuicio que por la voluntad.

    Bueno... en realidad no soy jugador habitual de sudoku y las pocas veces que lo intento no busco tampoco los más difíciles. Que me perdonen los buenos jugadores, pero creo que los juegos difíciles de sudoku lo son en tanto hay en ellos una buena dosis de ensayo y error. No obstante, tengo que decir que en la parte estrictamente deductiva del juego aparece matemática de muy alta calidad. Las estrategias más sencillas son estrategias de eliminación directa, en las que la posición de un número se determina por aquello de que no puede estar aquí, ni aquí, ni aquí y, por lo tanto, tiene que estar allí.  Todo esto basado en la regla de que ningún número puede estar repetido en una fila, columna o cuadrado interno. Los dos videos siguientes son ejemplos de esta técnica.

    No obstante, la técnica más manoseada es la completación (en una fila, columna o cuadro), estrategia que consiste en averiguar qué me falta (en la fila, columna o cuadro) y colocarlo. Por supuesto que nada tan fácil como cuando falta un solo número, pero si faltara más de uno habría que ver si no hay pistas adicionales fuera de la fila, columna o cuadro. A medida que el juego avanza se usa cada vez más la completación. Veamos dos ejemplos.

    Ahora bien, me he visto en la situación de colocar un número en un cuadro apelando a la reducción al absurdo, una técnica de razonamiento que consiste en suponer falso algo de lo que tenemos convicción interna que es verdadero; nuestra convicción se prueba porque la suposición nos lleva a una contradicción. No sé si me expliqué bien, pero estoy seguro de que los buenos jugadores de sudoku (matemáticos o no) la aplican, aunque los no matemáticos si ven un razonamiento formal de esta naturaleza dirán que es muy profundo para ellos.

    Otra técnica que he aplicado tiene que ver con intersección y diferencia de conjuntos. También en este caso vale el comentario que acabo de hacer.

    Yo resolví el sudoku planteado al principio de esta entrada. Está considerado difícil por el proponente, lo que me envaneció por la posibilidad de lucirme con mis lectores. Pero después que lo reviso no me parece que fuera tan difícil. Bueno... después de todo fácil y difícil son dos términos bastante subjetivos. Presento la solución que hallé número por número, indicando además la técnica utilizada para acertar cada número. Recuerdo que en una oportunidad, espiaba yo a un jugador de sudoku (bastante bueno) y lo vi colocar un número sin entender la razón. Le pregunté por qué lo colocaba y, mirándome con cara de extrañeza, me respondió: "Porque va ahí". Espero ser más explícito y aquí va la solución.

    Para finalizar he de decir que la invención del sudoku se atribuye al matemático suizo Leonhard Euler, a quien ya hemos mencionado bastante en este blog. En el siglo XIX el juego entró al Japón, donde se le bautizó como Suuji wa dokushin ni kagiru, que significa “los números deben estar solos”,  lo cual se abrevió en la forma Su doku, que significa simplemente “número solo”. Recordemos que Euler murió en 1783... sorprende que haya pasado todo este tiempo para que el juego se popularizara.

Piedra, papel o tijera

Piedra, papel o tijera es la crónica de un crimen perfecto: el que comete una sociedad contra sí misma al prescindir de la inocencia. Es una película que rompe toda ilusión en el espectador: su propio desarrollo demuestra que no hay manera de aceptar su final. El pretendido trazo de un rastro de esperanza dentro de tamaña miseria, se hace increíble ante desenlaces parciales inesperados que dibujan un cerco a la propia esperanza que se pretende redimir. No... no te refugies en el carrito de perros calientes: te van a conseguir y también vas a morir.

Lo anterior se magnifica si además constatamos que se trata de una película de muy alta calidad cinematográfica, lo que la hace particularmente eficaz en la transmisión de su mensaje. Un guión sólido, unas actuaciones impecables, una música pegajosa  y adecuada a cargo de Famasloop, con la calidad de sonido a la que nos está acostumbrando el cine venezolano de estos tiempos recientes.

Despertar en una ciudad como Caracas es siempre un azar. El mismo azar que reconocemos cuando apostamos a piedra, papel o tijera para negociar con nuestros hijos finalizar o no la comida servida. No puedes negarte, y lo sabes es el imperativo para entrar en el juego. Pero todos tenemos las mismas probabilidades: seamos ricos o pobres, activistas o desinteresados, conscientes o inconscientes, buenos o malos. Entramos al juego por nuestras propias acciones y son ellas las que configuran lo que llamaremos azar. Por algo, el matemático francés Laplace llamó demonio al azar: un demonio que puede predecir cada uno de nuestros actos y cada una de las consecuencias a las que nos llevarán.

La película está dirigida en una clave similar a la de Magnolia de Paul Thomas Anderson y Crash de Paul Haggis, pero la complejidad no la da la frondosidad de vidas encontradas: en el caso del film de Hernán Jabes son apenas dos familias las que se encuentran; la complejidad proviene entonces de la frondosidad de situaciones trágicas que el azar depara una detrás de la otra y que, en paralelismo situacional con El rumor de las piedras, no dejan paz al acelerado corazón del espectador.

Sin embargo, la cinta de Bellame concede la paz del mar como clave de esperanza. Jabes nos deja en la misma Caracas que minutos antes fue testigo de su reguero de cadáveres y su explosión infinita de miseria humana.

El trailer de la película puede verse por aquí , mientras que sus datos técnicos se consiguen en la propia página de la película.