¿Qué es la matemática experimental?

 Lo que sigue es mi traducción de un artículo publicado por Keith Devlin como promoción a un libro escrito por él en colaboración con Jonathan Borwein. El tema me parece fascinante, a pesar de los siete años transcurridos desde la publicación original del artículo. Espero que sea una traducción decorosa, pero en cualquier caso pueden enlazar al artículo original.

¿Qué es la matemática experimental?

Keith Devlin

En mi última columna mostré algunos ejemplos de hipótesis matemáticas que, aunque apoyadas por enorme evidencia numérica, resultan ser falsas a pesar de todo. Todo matemáticos sabe muy bien que las pruebas numéricas, incluso para miles de millones de casos particulares, no son demostraciones concluyentes. No importa cuántos ceros de la función zeta de Riemann se calculen y se observe que tienen una parte real igual a 1/2, la hipótesis de Riemann (HR) no se considerará establecida hasta que se haya producido una demostración analítica.

Hoy sabemos que la hipótesis de Riemann es verdadera para los primeros diez billones de ceros. Si bien estos cálculos no prueban la hipótesis, constituyen información al respecto; en particular, nos dan una medida de confianza en los resultados que se han demostrado suponiendo la validez de HR. Pero la matemática es más que demostraciones. De hecho, una considerable cantidad de personas que se ganan la vida "haciendo matemática" no tienen como plan encontrar demostración ninguna; sino más bien resolver problemas aproximados con cualquier grado de exactitud o certeza que se requiera. Mientras que la prueba sigue siendo el  "estándar de oro" definitivo para la verdad matemática, las conclusiones alcanzadas sobre la base de evaluar las pruebas disponibles han sido siempre un componente válido de la actividad matemática. En buena parte parte de la historia de la disciplina, se encontraron importantes limitaciones a la cantidad de evidencia que se podía recopilar, pero eso cambió con la llegada de la era de la computadora.

Por ejemplo, la primera publicación del cálculo de los ceros de la función zeta de Riemann se remonta a 1903, cuando J.P. Gram presentó los primeros 15 ceros (con parte imaginaria inferior a 50).

"Matemática experimental" es el nombre que generalmente se da al uso de una computadora para ejecutar cálculos -en ocasiones solo con propósito de ensayo y error- en la búsqueda de patrones para identificar números y sucesiones particulares, para reunir evidencia en apoyo de afirmaciones matemáticas específicas, que puedan surgir por medios computacionales.

Si los antiguos griegos (y las otras civilizaciones primitivas que abordaron por vez primera el tren de la matemática) hubieran tenido acceso a las computadoras, es probable que la palabra "experimental" en la frase "matemática experimental" sería innecesaria; los tipos de actividades o procesos que hacen que una determinada actividad matemática sea "experimental" se verían simplemente como matemática. ¿Sobre qué base hago esta afirmación? Basta observar lo siguiente: si se elimina de mi descripción anterior el requisito de que se use una computadora, ¡el restante describiría con exactitud lo que la mayoría -si no todos- los matemáticos han estado haciendo siempre, durante gran parte de su actividad profesional!

Entre los lectores de este artículo -quienes estudiaron matemática en la escuela secundaria o en la universidad, pero que no fueron matemáticos profesionales- muchos encontrarán sorprendente este último párrafo, pues ésa no es la imagen de la matemática  que se les presentó durante sus estudios (imagen cuidadosamente elaborada). Pero si dan un vistazo a los cuadernos privados de casi cualquiera de los grandes matemáticos, encontrarán página tras página de experimentación, de prueba y error (simbólica o numérica), cálculos exploratorios, conjeturas formuladas, hipótesis examinadas, etc.

Esta visión de las matemáticas no es común y la razón de ello es que hay que escudriñar el trabajo privado (inédito durante su carrera) de los grandes, para encontrar estas cosas (en sus portafolios). En cambio, en su trabajo publicado lo que se descubrirá son afirmaciones precisas de hechos verdaderos, establecidas por pruebas lógicas, basadas en axiomas que pueden ser, pero a menudo no lo son, indicados en la obra definitiva.

La matemática es casi universalmente considerada, y comúnmente retratada, como la búsqueda de la verdad (matemática) pura y eterna; debido a ello es fácil entender por qué el trabajo publicado de los grandes de la disciplina se podría considerar componente fundamental de lo que realmente es la matemática. Pero al hacer tal identificación se está pasando por alto una frase clave: "la búsqueda de". La matemática no es, y nunca ha sido, simplemente el producto final de la búsqueda; el proceso de descubrimiento es (lo ha sido por siempre) una parte integral de la disciplina. Como el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss escribió a su colega Janos Bolyai en 1808: "No es el conocimiento, sino el acto de aprender; no la posesión, sino el proceso para llegar allí, lo que otorga el mayor disfrute".

De hecho, Gauss era definitivamente un "matemático experimental" de primer orden. Por ejemplo, su análisis -siendo aún un niño- de la distribución de los números primos, lo llevó a formular lo que ahora se conoce como el teorema de los números primos, un resultado que no se demostró hasta 1896, más de 100 años después de que el joven genio hiciera su descubrimiento experimental.

Durante la mayor parte de la historia de las matemática, la confusión de la actividad matemática con su producto final fue comprensible: después de todo, ambas actividades eran realizadas por el mismo individuo, utilizando lo que para un observador externo eran esencialmente las mismas actividades: contemplar una hoja de papel, pensar profundamente y escribir garabatos en ese papel. Pero tan pronto como los matemáticos comenzaron a usar computadoras para realizar el trabajo exploratorio, la distinción se hizo evidente; especialmente cuando el matemático solo pulsaba la tecla para iniciar el trabajo experimental y luego salía a almorzar, mientras el ordenador hacía lo que quería. En algunos casos, lo que esperaba el matemático a su regreso era un nuevo "resultado", algo que nadie había sospechado hasta ahora y que no tenía ni idea de cómo probarlo.

Lo que hace a la matemática experimental moderna diferente (como actividad profesional) de la concepción y la práctica clásicas de la matemática es que el proceso experimental no se considera como la preparación de una demostración, para ser relegado a los cuadernos privados y quizás estudiado con fines históricos sólo después de que se haya obtenido la demostración. Más bien, la experimentación es vista como una parte significativa de la matemática por derecho propio -para ser publicada y considerada por otros- aparte de (característica nada despreciable) una contribución a nuestro conocimiento matemático general. En particular, esto da un estatus epistemológico a afirmaciones que, aunque apoyadas por un cuerpo considerable de resultados experimentales, aún no han sido formalmente probadas, y en algunos casos nunca pueden ser probadas. (Podría incluso suceder que un proceso experimental produzca una prueba formal. Por ejemplo, si un cálculo determina que cierto parámetro p, del que se sabe que es un número entero, está entre 2,5 y 3,784, eso equivale a una prueba rigurosa de que p = 3 .)

Cuando los métodos experimentales (usando computadoras) empezaron a penetrar la práctica matemática en la década de los 70, algunos matemáticos cantaron "foul", diciendo que tales procesos no deberían ser aceptados como matemáticas genuinas, que el verdadero objetivo debería ser una prueba formal. Curiosamente, tal reacción no habría ocurrido un siglo o más antes, cuando Fermat, Gauss, Euler y Riemann pasaron muchas horas de su vida realizando cálculos mentales para determinar "verdades posibles" (muchas, no todas ellas, fueron demostradas posteriormente). El surgimiento de la noción de demostración como el objetivo único de la matemática se produjo a finales del siglo XIX y principios del XX, cuando los intentos de entender el cálculo infinitesimal llevaron a la comprensión de que el significado de conceptos intuitivos básicos como función, continuidad y diferenciabilidad era altamente problemático y, en algunos casos, conducían a contradicciones aparentes. Frente a la incómoda realidad de que sus intuiciones fundamentales pudieran ser inadecuadas o sencillamente engañosas, los matemáticos comenzaron a insistir en que los juicios de valor estarían ahora relegados a la charla del receso en la sala común de la facultad de matemática de la universidad y nada sería aceptado como legítimo hasta que se hubiera demostrado formalmente.

Lo que hizo que el péndulo regresara para incluir (abiertamente) los métodos experimentales, fue en parte pragmático y en parte filosófico. (Obsérvese la palabra "incluir": la introducción de los procesos experimentales de ninguna manera elimina las demostraciones.)

El factor pragmático detrás del reconocimiento de las técnicas experimentales fue el crecimiento del poder de las computadoras, la búsqueda de patrones y la acumulación de grandes cantidades de información en apoyo de una hipótesis.

Al mismo tiempo que la creciente disponibilidad de computadoras -cada vez más baratas, más rápidas y potentes- resultó irresistible para algunos matemáticos, hubo un cambio significativo -aunque gradual- en la forma en que los matemáticos consideraban su disciplina. La filosofía platónica de que los objetos matemáticos abstractos tienen una existencia definida en algún ámbito más allá de lo humano (lo que convierte la tarea del matemático en revelar o descubrir verdades eternas e inmutables acerca de esos objetos) dio paso al reconocimiento de que la disciplina es producto humano, el resultado de un tipo particular de pensamiento del hombre.

El giro del platonismo hacia la visión de la matemática como otro tipo de pensamiento humano acercó mucho más la disciplina a las ciencias naturales, en las que el objeto no es establecer la "verdad" en un sentido absoluto sino analizar, formular hipótesis y obtener evidencia que apoye o niegue una hipótesis particular.

De hecho, como lo expresó el filósofo húngaro Imre Lakatos en su libro "Proofs and Refutations" (1976), publicado dos años después de su muerte, la distinción entre matemática y ciencia natural -como se acostumbraba- fue siempre más aparente que real, de hecho era resultado de la moda entre los matemáticos de suprimir el trabajo exploratorio que generalmente precede a la prueba formal. A mediados de los años noventa, se estaba haciedo común "definir" la matemática como una ciencia: "la ciencia de los patrones".

El clavo final en el ataúd de lo que podríamos llamar "platonismo duro" fue impulsado por la aparición de demostraciones por computadora, cuyo primer ejemplo realmente importante fue la demostración en 1974 del famoso teorema de los cuatro colores, una afirmación que hasta el día de hoy es aceptada como un teorema únicamente sobre la base de un argumento (en realidad, en estos momentos hay por lo menos dos argumentos diferentes) del cual una parte significativa es realizada, por necesidad, mediante un computador.

El grado en el que la matemática ha llegado a parecerse a las ciencias naturales puede ilustrarse con el ejemplo que ya he citado: la hipótesis de Riemann. Como ya he mencionado, la hipótesis ha sido verificada computacionalmente para los diez billones de ceros más cercanos al origen. Pero todo matemático estará de acuerdo en que esto no equivale a una prueba concluyente. Supongamos ahora que la próxima semana un matemático publica en internet un argumento de quinientas páginas que alega como demostración de la hipótesis. El argumento es muy denso y contiene varias ideas nuevas y muy profundas. Pasan varios años, durante los cuales muchos matemáticos de todo el mundo examinan la prueba en cada detalle, y aunque descubren (y continúan descubriendo) errores, en cada caso ellos o alguien más (incluyendo el autor original) puede encontrar una corrección. ¿Cuál es el punto en el que la comunidad matemática en su conjunto declara que la hipótesis ha sido realmente probada?Incluso entonces cabe preguntar: ¿qué considera más convincente: el hecho de que hay un argumento -que usted nunca ha leído y no tiene intención de leer- para el cual ninguno de los cientos de errores encontrados hasta ahora han resultado ser fatales, o el hecho de que la hipótesis se ha verificado computacionalmente (y, supongamos, con certeza total) para 10 billones de casos? Diferentes matemáticos darán respuestas diferentes a esta pregunta, pero tales respuestas son meras opiniones.

Dado el importante número de matemáticos que en estos días han aceptado el uso de métodos computacionales y experimentales, las matemáticas han crecido hasta parecerse mucho más a las ciencias naturales. Algunos dirán que simplemente es una ciencia natural. Si es así, a pesar de ello permanece y siempre permanecerá -lo creo de manera fervorosa- como la más segura y precisa de las ciencias. El físico o el químico deben confiar en última instancia en la observación, la medición y el experimento para determinar lo que se debe aceptar como "verdadero", y siempre existe la posibilidad de una observación más precisa (o diferente), una más precisa (o diferente) medida, o un nuevo experimento (que modifica o revierte las "verdades" previamente aceptadas). El matemático, sin embargo, tiene la pétrea noción de la demostración como árbitro final. De acuerdo: ese método no es (en la práctica) perfecto, sobre todo cuando se trata de pruebas largas y complicadas, pero proporciona un grado de certeza al que las ciencias naturales rara vez se aproximan.

Entonces, ¿qué tipo de cosas hace un matemático experimental? (Más concretamente, ¿qué tipo de actividades hace un matemático que puedan clasificarse como "matemáticas experimentales"?). Podemos nombrar una cuantas:

     Cálculo simbólico utilizando un sistema de álgebra computacional como Mathematica o Maple.
     Métodos de visualización de datos.
     Métodos de relaciones entre enteros, como el algoritmo PSLQ.
     Aritmética de números enteros y de punto flotante de alta precisión.
     Evaluación numérica de alta precisión de integrales y suma de series infinitas.
     Aproximaciones iterativas a funciones continuas.
     Identificación de funciones, basadas en características gráficas.

¿Quieres saber más? Lo hice como un matemático que no ha trabajado activamente de manera experimental (aparte del familiar ensayo y error que juega con las ideas que son parte integral de cualquier investigación matemática), y recientemente tuve la oportunidad de incrementar mi aprendizaje colaborando con una de las figuras más destacadas del área -el matemático canadiense Jonathan Borwein- en un libro introductorio sobre el tema. El resultado fue publicado recientemente por A.K. Peters: "The Computer as Crucible: An Introduction to Experimental Mathematics" ("La computadora como crisol: una introducción a la matemática experimental"). La columna de este mes es un resumen de ese libro.

Ambos esperamos que lo disfrutes.

El hombre que conoció el infinito

Matemática y física son claves culturales imprescindibles del siglo XXI. Lo fueron en el siglo XX, pero algo -sociológico quizás- decidió para ellas, con visión elitista, una separación del ciudadano medio. Ese algo hizo que al siglo le diera por pensar que serían temas de poco o nulo interés, que solo unos cuantos rezagados pondrían sus ojos en productos de esta naturaleza, aspirantes a obras de arte.

El inicio de este siglo se muestra más prometedor al respecto. Ya Hawking y Turing recibieron lo suyo, con el suficiente mérito para estar en la tribuna de los óscares; al primero con La teoría de todo y al segundo con Código Enigma, película que en inglés se conoció como The imitation game (debo decir que es uno de los pocos casos en que el título en español respeta más el argumento de la película que el título original). Ahora le toca nada más y nada menos que al extraordinario Srinivasa Ramanujan, con El hombre que conoció el infinito, del director Matthew Brown. Veo a Dev Patel (Slumdog millionaire, El mejor exótico Hotel Marigold) en este trailer y no se me ocurre que se pudiera haber hecho otra elección; la composición fotográfica muestra el científico a la izquierda y el actor a la derecha.

Para entender un poco las motivaciones de esta película y -tal como corresponde a una cinta histórica- comentar algunas cosas de su posible argumento (por supuesto, yo no he visto la película... la esperaré con impaciencia), quiero poner a continuación la transcripción de un micro radial que este servidor escribió tres años atrás. Lamento no disponer del audio del micro pues hubiera colocado un enlace para él. No obstante he de aclarar que el texto que sigue tiene algunos añadidos respecto al original, necesariamente breve para ajustarse a los cinco minutos del micro.

SRINIVASA RAMANUJAN

Gotfried Hardy, en la foto a la derecha (representado por Jeremy Irons en la película), fue uno de los matemáticos más importantes del siglo XX. No obstante, interrogado acerca de la trascendencia de su obra, afirmó que una de las pocas cosas buenas que había hecho en su vida fue trabajar al lado de Srinivasa Ramanujan. ¿Cómo se hizo este Ramanujan acreedor a tan grande reconocimiento? Pues bien, nuestro personaje fue un hindú que murió en 1920, a la prematura edad de 32 años. Pero también su talento matemático fue prematuro.

Siendo un adolescente que crecía en una pequeña población, alejada de los grandes centros culturales de la época, ignoraba el movimiento matemático del momento. Sin embargo, en la escuela secundaria aprendió a resolver la ecuación de tercer grado mediante la fórmula habitual. Al no conseguir en ninguna parte la solución de la de cuarto grado, emprendió la búsqueda por sí mismo hasta que llegó a ella lo que, por supuesto, lo animó a buscar una fórmula para la de quinto grado. No tuvo éxito. De hecho, no podía tenerlo. Algunos años atrás Abel y Galois habían demostrado la imposibilidad de encontrar tal fórmula que, ellos mismos, alguna vez habían buscado también infructuosamente.

Pero la epifanía matemática de Ramanujan vendría con el descubrimiento de un pequeño librito: la Sinopsis de resultados elementales de matemática pura de Carr. Es a partir de esta lectura que nuestro héroe hindú, descubre el mundo de las sumas, productos y fracciones infinitas a las que su particular talento añadiría tantas notas armoniosas.

Su extraordinario genio hubiera quedado en un resguardo casi provincial si no fuera por la afortunada decisión de enviar una carta a Hardy, matemático inglés que trabajaba en su misma rama de conocimientos. Hardy reconoció el tesoro y lo llevó a su lado, creando una de las más fructíferas uniones intelectuales que la ciencia haya conocido jamás.

Ramanujan fue toda su vida un hombre de salud delicada, a lo que se añadía el uso de esquemas muy restringidos de alimentación, producto de su formación religiosa. Esto acabó con su vida muy pronto, pero aún en su lecho de enfermo produjo una anécdota matemática muy popular en el medio, tanto que casi podría llamarse "la anécdota 1729".

Una tarde que Hardy le visitaba éste le hizo notar a Ramanujan (quizás para animar a un enfermo terminal) que la placa del taxi que lo había transportado le parecía insípida y Ramanujan lo interrogó acerca del número. La respuesta fue 1729. Con un brillo inusitado en sus ojos de enfermo, Ramanujan contestó: No es insípido: es el menor número expresable como suma de dos cubos de dos maneras distintas. En esta respuesta, aunque no lo parezca hay dos afirmaciones matemáticas importantes; una es relativamente sencilla: 1729 es igual a 1728+1, pero 1728 es el cubo de 12  y 1 es su propio cubo; además 1729 también es igual a 1000 (que es el cubo de 10) más 729 (que es el cubo de 9). La otra afirmación exige algo de esfuerzo matemático: es el menor número que tiene esta propiedad. Pero este esfuerzo posiblemente es algo que no todo enfermo terminal esté dispuesto a dar.