PITÁGORAS: EL CAVERNÍCOLA CIENTÍFICO

A Héctor Concari, porque es el culpable.

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El cavernícola científico o el científico cavernícola: ¿a qué le damos prioridad? Porque cierto fue -en eso coinciden los biógrafos- que el Hombre (así mismo... como le llamaban sus propios alumnos en tono reverencial) reunía a su prole discipular en una caverna, decisión que tomó al regreso de Egipto hacia su Samos natal. Nada mejor que una caverna para representar la idea del secreto, pues lo que allí se aprendía llevaba carácter hermético, tanto que la vida podía entregarse por delito de infidencia. La apariencia de mentira de que, en el medio de tanto misterio, pudiera florecer un conocimiento matemático tan profundo que hasta hoy nos alcanzan sus reflejos, se disuelve con la advertencia de Daniel Asuaje: "la sociología del conocimiento nos hace ser más indulgentes con las supersticiones, pues nos lleva al entendimiento de que ellas son tan hijas de la curiosidad humana (vale decir, de la propensión a explicarnos todo) como lo es la ciencia". Misterio y razón -al decir de Daniel- son ambos hijos de la necesidad de conocer. ¿Podía Pitágoras separarlos como lo hacemos hoy quienes cargamos la influencia de su seguidor Platón; el rebelde alumno de éste, Aristóteles y su lejano par (lejano a ellos, más cercano a nosotros), Descartes?

Ahora bien, lo que ya explica la razón no debería tener regreso al misterio. La fuerza de éste sobre la mente humana, no obstante, es muy poderosa como para aceptar, con desapegada quietud, este extrañamiento forzoso. A lo mejor se trata de una resistencia necesaria; es dable pensar que si el misterio le cede todo el espacio a la razón podría ésta estar perdiendo su fuente última. Como sea que fuere, todo comenzó con Pitágoras. Hablo de la amalgama misterio-razón, pero esta página ha de privilegiar la razón, por lo que dejamos en manos de otros, asuntos como la transmigración de las almas, mas no podríamos dejar de lado el culto numérico o numerología, que hizo producir al pitagorismo una avanzada y sorprendente teoría de números, cuyos resultados abundan los libros de texto modernos.

El credo pitagórico fundamental es Todo es número; esta esencialidad absoluta y monista, llevaba a numerar cualidades: el 2 es el número de la opinión; el 3, de la armonía; el 4, de la justicia; el 5, del matrimonio... y puede continuarse el catálogo. Pero de la misma forma, el 1 representa el punto; el 2, la línea; el 3, el plano y el 4, el espacio: sin duda un antecedente del concepto de dimensionalidad, que tan fructífero ha sido para el estudio de nuestro universo, ése que los pitagóricos llamaron cosmos y lo asociaron con el 10, que es la suma de los cuatro números anteriores, por lo cual se convirtió en un símbolo del universo, al que se dio el nombre de tetractys. El tetractys sagrado era uno entre varios distintivos pitagóricos. Misterio y ciencia a partes iguales.

En su Metafísica, Aristóteles recoge -como principios de las cosas- una lista de diez pares de contrarios provenientes de la tradición pitagórica: los elementos del lado izquierdo de la lista representan virtudes, del lado derecho defectos. Los números y las formas no podían estar ausentes de esta lista: lo impar estaba del lado izquierdo (virtud) y lo par del lado derecho (defecto), lo cuadrado iba a la izquierda y lo oblongo (rectangular) del derecho. (Como una curiosidad, vale acotar que Derecho-Izquierdo es un par de esta lista, pero lo Derecho está a la izquierda y lo Izquierdo a la derecha.) Clasificación moral que tenía una representación aritmético-geométrica; por ejemplo, lo impar asociado con lo cuadrado está de acuerdo con la siguiente serie de figuras

que traducida a palabras dice que una suma de impares consecutivos siempre produce un cuadrado. Pero la asociación par-oblongo responde al siguiente diagrama

que dice que la suma de pares consecutivos produce números oblongos (fíjate que los dos factores difieren en una unidad). Cortando cada oblongo por la mitad se llega a los números triangulares

que son los que se obtienen sumando todos los números consecutivamente. A partir de los triangulares y los cuadrados el pitagorismo consiguió que cada número tenía una forma definida; la manera de conseguir la forma del número lo muestra el siguiente diagrama

en el que a cada número de la lista se llega contando los puntos de los polígonos desde el más pequeño hacia los de mayor tamaño. Del fondo de esta cuenta de apariencia anodina surge el importante concepto de progresión aritmética, inicio de una cadena de conocimiento científico que hoy envolvemos bajo la denominación de teoría de números. Es posible que el primero que haya hecho una recopilación ordenada de todo este conocimiento fuera Euclides, tres siglos después de Pitágoras, pero de allí en adelante la aritmética no ha dejado de evolucionar.

Esto puede sorprender al desprevenido que asocia el nombre de Pitágoras a un solo teorema, del cual recuerda vagamente que tiene que ver con triángulos. Me eximo de hablar del teorema de Pitágoras, pues ya le dediqué una columna en este blog, pero hay que aclarar que el dichoso teorema es apenas uno de los notables resultados que produjo el pitagorismo. De mucho mayor alcance -buscando los propios fundamentos de la matemática- fue el descubrimiento de los inconmensurables, nombre con el cual se nombraron algunos pares de magnitudes que no podían contarse simultáneamente con números (para los pitagóricos, numero era lo que servía para contar, no otra cosa). 

Donde primero aparecieron estas magnitudes inconmensurables fue en dos figuras muy caras a la secta: el cuadrado y el pentágono regular; el primero, por sus características de simetría y armonía y el segundo porque sus diagonales formaban la estrella distintiva de la congregación, estrella a la que llamaban Salud y sus cortes definían la divina proporción, el número áureo.


En el cuadrado y el pentágono, la diagonal y el lado del polígono son inconmensurables, es decir, no se puede conseguir un segmento menor que ellos que quepa un número entero de veces en ambos: el número no se rinde ante estos pares de segmentos. El descubrimiento de los inconmensurables fue una revolución dentro del pitagorismo pues los conducía al infinito, cosa que el griego detestaba; los pitagóricos originales nunca supieron resolver el problema. Solo dos siglos después de ellos, el genial platónico Eudoxo mostró cómo el razonamiento finito podía doblegar lo inconmensurable. El concepto de número real, tan imprescindible al matemático actual, pertenece al linaje de estos inconmensurables.

Magia devenida en ciencia, ciencia interrelacionada con la magia. Las constelaciones tenían número: el de las estrellas que las constituían. La música también era números: las notas eran razones de enteros. Se dice que Pitágoras (o el pitagorismo) es el precursor de la afinación musical. Música y astronomía se conjugaban en la música de las esferas, un sonido cósmico proveniente de los cuerpos celestes, que solo podían oír unos pocos elegidos, quizá únicamente el Hombre. De esta manera el pitagorismo hizo una sola cosa de aritmética, geometría, música y astronomía, conjunto que posteriormente se llamó quadrivium y a la que la Edad Media le añadió el trivium (retórica, dialéctica y gramática) para conformar las siete artes liberales, de las que se ocupaban las universidades de la época. Trivium y quadrivium son los antecedentes de nuestra lamentable división del conocimiento en humanidades y ciencias.

Trivium y quadrivium no son palabras pitagóricas, de hecho las inventó el humanista Boecio, del siglo V d. C. Pero Pitágoras era excelente neologista, productor de vocablos llamados a perdurar. Por ejemplo, se dice que de él viene la palabra filosofía,  el amor al conocimiento. Pero también la palabra matemática, derivada de la separación de sus alumnos en dos grupos: los acusmáticos u oídores, que estaban en su fase de aprendizaje preparatorio, y los matemáticos o conocedores, alumnos avanzados que tenían acceso a los conocimientos más profundos de la secta. Matema, en griego, es lo que se sabe. En el pitagorismo, solo los matemáticos tenían acceso al maestro.

Ocupados de la obra, poco hemos podido decir del hombre, del ser humano. Los biógrafos suelen ser hagiográficos y refieren esta hagiografía a la propia época del personaje quien, supuestamente, era considerado un Apolo por sus contemporáneos. Por algunos de ellos, claro. Otros se burlaban del maniático que hablaba con los animales pues, en algunos reconocía el alma de antiguos amigos. No faltaba quien hiciera mofa de su vegetarianismo, mezclado contradictoriamente con un odio irracional a las habas tanto que, huyendo de quienes querían asesinarlo, prefirió entregarse a refugiarse en un sembradío de habas. Pero ésta no es más que una de las tantas versiones de su muerte, algunas de las cuales lo dibujan falleciendo dócilmente sobre una cama luego de sus 99 años. En todo caso él y su escuela fueron ágrafos (cosa que niega Diógenes Laercio) y todo lo que sabemos de ellos es fuente posterior, biógrafos y comentaristas -admiradores y adversarios- que recogieron la tradición oral.

Lo cierto es que aun nos resuenan los ecos de Pitágoras; las nuevas visiones de la naturaleza parecen recuperar la máxima mística según la cual Todo es número. Vive el sabio. Su alma quizás transmigre en la multitud de partículas en las que el Universo se nos ha manifestado. Sigamos haciendo poesía con su magia; hagamos ciencia con sus números y sus formas.

LOS MISTERIOS DEL 9: MATEMÁTICA Y NUMEROLOGÍA

El hombre es contradictorio por naturaleza, ya lo dijo Whitman; la época actual ha llevado esa naturaleza contradictoria a un extremo. Por alguna razón, que quizás un sociólogo pueda explicar mejor que yo, el hombre de hoy tiene una profunda crisis de fe en sí mismo. No de otra manera puede explicarse el inusitado éxito en ventas de ese "género literario" que se ha conocido como autoayuda, sustantivo que de suyo es discordante, pues el prefijo auto se contradice con el hecho de que se trata de una búsqueda definidamente externa de solución a problemas reales o inventados. No solo la autoayuda ha florecido: también la religiosidad exacerbada (no hay grupo guasap en el que no circulen estampitas tipo escapulario) y esa forma decadente de misticismo, que convierte la maravilla de lo aun no explicado en una vía de culto semirreligioso. De esta suerte es el correr parejos de términos como astrología y curación cuántica, sea lo que sea que esta última cosa signifique. En todo caso, cualquier fanático de Adriana Azzi venerará por igual a Deepak Chopra y, posiblemente, viceversa.

Aludo a una contradicción, pero aun no la he explicado. La ciencia actual descansa sobre los mismos supuestos racionales que la levantaron en los siglos XVII y XVIII, pero algunas de sus conclusiones son chocantes al sentido común. Allí está la gran veta de los "místicos", palabra para la que no consigo mejor manera de ironizarla que con las comillas. Se hace "misticismo" a partir de lo mal aprendido o enseñado. De allí cosas como la curación o sanación cuántica, absurda manera de deformar un conocimiento tan sólido y productivo como la física cuántica. La actitud no es nueva. La robusta matemática que legó el pitagorismo del siglo V a. C. venía acompañada de abstrusas creencias que atribuían a los números características humanas o divinas. Por allí empezó la cosa. Pero sorprende que a 2600 años de distancia la humanidad aun no sepa distinguir el trigo de la paja. Y que sea esta última la que brote de la boca de muchas personas no solo con naturalidad, sino también con impostora autoridad.

Empujan estas reflexiones uno de los tantos vídeos sobre la materia que uno consigue por Facebook. Alude éste a los "misterios" del 9, partiendo del "enigmático" hecho de que la circunferencia tiene 360 grados y que 3+6+0=9. A partir de allí se enuncia una lista de "insondables" de la misma naturaleza. Pero dejemos de lado la ironía y veamos que tan insondables son las cosas que nos muestra el vídeo. Comencemos por decir que manejamos los números con un sistema posicional y de base 10. Son dos cosas: posicional significa que los dígitos con los que escribimos los números tienen valor de acuerdo a su posición, así en 666 el primer 6 es 600, el segundo 60 y el último 6. (¡No es nada diabólico, chico! El 6 fue lo primero que se me vino a la cabeza.) Por su parte, de base 10 o decimal (es lo mismo), significa que solo necesitamos diez símbolos diferentes para representar cualquier número y los indios nos regalaron estos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, con los cuales hemos estado muy conformes y cómodos desde finales de la Edad Media.

Ahora bien, ¿es necesario que todo sistema posicional sea decimal?... Rotundo NO de respuesta. La única razón parece ser anatómica: tenemos diez dedos y nos iniciamos con ellos en el conteo. Por eso a los números de la lista anterior los llamamos dígitos, palabra que viene de dedo. Pero supón -haz el esfuerzo, lector- que en vez de diez tuviéramos ocho dedos, como en el mundo de los Simpsom. Ese simple detalle podría habernos conducido a otro sistema de numeración, uno de base 8, lo que hoy llamamos octal. En ese sistema los indios, de seguro, nos habrían dado solo ocho dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. ¿Y cómo seguimos aquí la secuencia? Pues... igual: al llegar al dígito más alto, rotamos de nuevo al 0 y empujamos las cifras a la izquierda, como el contador de kilómetros del carro:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21, 22, etc.

Pero, por supuesto, a pesar de usar símbolos comunes ya las cosas no significan lo mismo. En el hipotético mundo de ocho dedos, un corral de 12 gallinas significaría esto

y no esto

(Los matemáticos expresan el hecho anterior dicendo que 12 octal es igual a 10 decimal y, como es de esperarse, muestran cómo una cifra octal se puede escribir de manera decimal y viceversa. No tenemos por qué entrar en ese embrollo, pero saludo a los lectores curiosos.)

Esta sería nuestra tabla de sumar si usáramos el sistema octal:

significa lo mismo, pero escrito de manera diferente. Te invito a descifrar.

Volvamos ahora al 9 y sus supuestas propiedades mágicas. En el sistema decimal, el 9 es el mayor dígito, pero en el sistema octal se escribe como 11 de manera que ahora se expresa con dos dígitos. En otras palabras: ser el mayor dígito es un accidente derivado de la base del sistema posicional usado, no da ningún privilegio a ningún número. Pero continúo: si te molestaste en ver el vídeo lo primero que notas es que la circunferencia tiene 360 grados y eso -según el autor del vídeo- no es casualidad. Pues... ¡sí que lo es! Si yo quisiera que la circunferencia tuviera 500 o 192 grados simplemente la dividiría en 500 o 192 partes iguales y a cada una la llamo grado. ¡San Seacabó! Lo que pasa es que hemos convenido desde hace mucho tiempo en 360 porque es un número que tiene una gran cantidad de divisores y además es una buena aproximación a la cantidad de días en un año, es decir, al tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol.

El otro punto en el que se solaza el vídeo es que 3+6+0=9, pero si divido la circunferencia en dos queda 180 y 1+8+0=9 y si la divido en cuatro partes, etc... siempre la suma de las cifras resulta 9. ¡Otra vez la magia del número 9! Pero no hay magia por ningún lado. Hay una explicación perfectamente racional a este hecho. Si tienes cualquier número (te propongo 2635, pero escoge el que tú quieras) y le restas la suma de sus cifras (2+6+3+5=16, 2635-16=2619), lo que te queda es múltiplo de 9; en efecto 2619/9=291, exacto. ¿A qué se debe esto? No entro en muchos detalles, pero mira lo que sigue:

esos unos que quedan a la derecha son los responsables de separar las cifras del número, pero observa que lo que tienen a la izquierda es precisamente un múltiplo de nueve. Por lo tanto, si originalmente el número fuera múltiplo de 9 (como 360) entonces la suma de sus cifras también será múltiplo de 9. No hay ninguna magia: todo lo resuelve el pensamiento racional. A menos que pensemos que disponer de un pensamiento racional es un hecho mágico... discusión cuya profundidad me está vedada.

Pero falta más según el vídeo: la mitad de la circunferencia, su cuarta parte, su octava parte... todas cumplen con que la suma de sus dígitos se reduce a 9. ¡Por supuesto! Después de todo 360=9x40 y las divisiones por 2 afectan al 40 y dejan quieto al 9. De manera que podemos decir, en un sentido bastante extendido para incluir los decimales que nos den, que todos los resultados son múltiplos de 9 y por lo tanto la suma de sus dígitos se reducirá a 9 finalmente.

La magia desaparece cuando nos damos cuenta de que en un sistema de otra base esta propiedad ya no es válida. Por ejemplo, en el sistema octal 360 se escribe 550 (me crees o sacas la cuenta, tú decides, lector). Pero, si te fijas en la tabla de sumar que tienes arriba 5+5+0=12 y 1+2=3. ¡No da 9! Pero ahora te tengo una sorpresa curiosa. Supongamos que en vez de 360, la circunferencia tuviera 280 grados. Este es un número múltiplo de 7 y en el sistema octal se escribe 430. Pero 4+3+0=7. ¡El número mágico ahora es el 7!... En realidad lo que sucede es que si tenemos un sistema de numeración de cualquier base, los números que sean múltiplos del dígito más alto reducirán la suma de sus cifras a ese dígito. No lo voy a demostrar, pero a lo mejor algún curioso lo intenta.

Por cierto, el vídeo dice que todo esto es consecuencia de la teoría de los vórtices. ¡Vaya usted a saber qué es eso! Pero nada mejor que un nombre misterioso para caerle a embustes a la gente.