Teorema de Pitágoras: pequeña crónica de una negación

Para Anizabel Pérez... porque la curiosidad alimenta al gato.

La historia de la matemática tiene sus humoradas; algunas de ellas hasta un tanto crueles. Hay una larga tradición de equívocos en la autoría de ciertos resultados importantes: el teorema que lleva el nombre de Fulano, ya el tal Fulano lo encontró así o lo sabía de Mengano; sobran ejemplos. En el caso específico de Pitágoras (supuestamente nacido en Samos en el siglo V a. C.), el asunto es más profundo aun: hay quienes han dudado hasta de la existencia de Pitágoras, pero aquellos que aseguran su existencia no dejan de mencionar la ambigüedad -o peor aun, difuminación- histórica entre la obra de este pensador y la producción intelectual de la escuela que -según se dice- lideró.

Preguntado el transeúnte desprevenido por algo que le recuerde la palabra Pitágoras, de seguro responderá el teorema de Pitágoras aunque, con un alto índice de probabilidad, no querrá ser interrogado acerca de su contenido. Se sorprenderá de saber que el dichoso teorema podría no ser ni de Pitágoras ni pitagórico: todas las fuentes que lo asignan al sabio o a su escuela son harto posteriores al período de existencia del nativo de Samos. Pero no solo eso: hay muchas pruebas históricas de que el teorema o casos particulares de él eran conocidos por civilizaciones anteriores (Babilonia, China, India), de manera que los pitagóricos pudieron haber sido solo receptores y, por supuesto, difusores.

Si fuera éste el caso, tampoco podría hacerse demérito de su esfuerzo. El ejercicio matemático valora los enfoques originales y el legado pitagórico recogido hasta ahora abunda en originalidad. Tanto así que, en el conjunto de la obra pitagórica, el teorema que nos ocupa es casi obra menor; su profundidad palidece ante aportes del tamaño de los problemas de aplicación de áreas o la insondable teoría de los inconmensurables, cuya presencia -expresada en muy modernos términos- impregna hoy en todas sus líneas la rama de la matemática conocida como Análisis. Esta difícil teoría fue uno de los problemas más acuciantes de la antigüedad matemática griega y no pudo ser resuelto por sus proponentes; hubo que esperar hasta un discípulo de Platón, llamado Eudoxo, para que el velo se descorriera.

Es más, pudieron haber sido los de la caverna (Pitágoras enseñaba dentro de una cueva) los  precursores de un pecado matemático, que los practicantes de la disciplina no suelen perdonar aunque todos lo apliquen: el uso argumental de lo no demostrado. Explico: se supone que la matemática es una cadena de demostraciones basada en cosas cuya certeza se ha establecido de antemano; si algo no se sabe de seguro, no es válido utilizarlo como argumento en una demostración. Pero algunas veces el convencimiento interior puede más y se decide correr el riesgo. Casi siempre se hace la salvedad, pues es como barrer la casa con escoba prestada; no obstante lo importante es haberlo dicho yo primero: en matemática (o en la ciencia en general) los segundos inventores no tienen derechos. Parece que los pitagóricos tenían una demostración del teorema que necesitaba de sus indemostrados inconmensurables.

Creo que he de decir la motivación de este post. Desde hace algún tiempo buscaba la colaboración de un artesano en la elaboración de un juguete -pensado para mi nieto de siete años- basado en dos de las más de mil demostraciones del teorema de Pitágoras (quizás el más demostrado de la historia). Vano fue el intento, tal vez porque también les pareció vana la intención; así que decidí utilizar mis torpes manos en el asunto, con ayuda carpinteril y producir los rompecabezas que se ven en la figura de arriba, al inicio del post. A todas estas, hasta ahora ni siquiera he tenido la delicadeza de recordar el contenido del teorema al lector ajeno: se trata de un triángulo rectángulo y de construir sobre sus tres lados sendos cuadrados, resultará que el cuadrado construido sobre la hipotenusa (el lado mayor del triángulo) será igual a la suma de los construidos sobre los catetos (los otros dos lados). Extraídos del juguete para hacer la figura de la derecha, el cuadrado verde agua es la suma de los cuadrados verde intenso. El final de este párrafo debe referir la motivadora curiosidad de Anizabel Pérez al ver la foto del juguete en Facebook y su ganado impulso a reencontrarse con algo dejado de lado hace unos cuantos años atrás; una muestra de que no todo aquel que sigue el camino de las humanidades lo hace por temor a la matemática.

Vuelvo entonces a la historia (parcial, por supuesto) de las demostraciones del teorema. Cuando dos siglos después del nacimiento del pitagorismo, el alejandrino Euclides decide escribir la obra cuya estructura teórica es lo más parecido en la antigüedad a la que hoy exigimos a cualquier obra matemática que se respete, se encuentra con el problema de cómo exponer el teorema de Pitágoras sin incurrir en el propio pecado de los pitagóricos. El asunto es que esta obra euclidiana -denominada Elementos- estaba separada en trece libros y el teorema de Pitágoras cerraba el primero de los trece, mientras los inconmensurables no aparecían hasta el quinto volumen. En un alarde de ingeniosidad, el alejandrino mantiene intacta la idea pitagórica, pero modifica el método para llegar a ella. El esfuerzo le significa el uso de una figura tan complicada como la de la izquierda; complicación aparente pues la idea resulta ser sencilla, aunque no penetraré en ella; baste decir que las líneas interiores comparan triángulos con rectángulos y separan el cuadrado mayor en dos rectángulos iguales a los cuadrados menores. (Por cierto, quien guste de los detalles puede leer mi obra Historia de la matemática: Pitágoras y el pitagorismo, título que incluyo como un enlace a ella y cuya portada preside este párrafo... Perdonen la cuña.) Esta demostración le gana a Euclides el halago del historiador matemático Proclo, en el siglo V d. C, en su libro Comentarios al primer libro de los Elementos de Euclides, obra que ha sido una fuente importante de la historia de la matemática: Proclo cita en ella muchas obras que hoy están perdidas y es él la única referencia de este extravío.

Pero los chinos estuvieron antes, ya lo dijimos. Los dos primeros cuadrados del juguete contienen la llamada demostración china del teorema de Pitágoras: son dos cuadrados iguales entre sí, pues sus lados respectivos se obtienen concatenando longitudes iguales a los catetos del triángulo rectángulo (vale observar que todos los triángulos rectángulos son rojos, aunque no siempre del mismo tono). Si de iguales substraigo iguales los resultados que se obtengan serán iguales. Por lo tanto, de ambas figuras puedo quitar cuatro triángulos rectángulos iguales. ¿Qué queda? El cuadrado verde claro a la izquierda y los verde oscuro a la derecha: ¡el primero igual a la suma de los segundos! ¿Necesita alguien algo más fácil? Ingeniosos los chinos, ¿no? Llegaron a una de las claves más importantes del pensamiento humano así como un niño que juega a los rompecabezas.

En este punto me inquieta el historiador T. L. Heath, quien afirma que esta demostración no podría hacer sido pitagórica en tanto carece de "sabor griego". Más allá de la duda que pueda generar el reconocimiento de este supuesto sabor griego, el segundo libro de los Elementos de Euclides -calificado por algunos como el más pitagórico de los trece- no es más que un muestrario de proposiciones cuyas demostraciones consisten en el armado y rearmado de piezas iguales en formas distintas: un catálogo de rompecabezas, pues. De manera que tímidamente asomo mi desacuerdo con el gran maestro: el teorema de Pitágoras pudo haber terminado el libro I o comenzado el II en este mismo estilo. Proclo no se habría maravillado menos.

Posiblemente inspirado por esta demostración china, el tercer cuadrado del juguete contiene también su propia demostración, solo que un tanto más oculta, menos clara. El juego, en este caso, implica algo de cálculo (sacar cuentas). El área del cuadrado puede determinarse observando que su lado es la hipotenusa del triángulo rectángulo. Pero hay otra forma de hacer el cálculo: sumando las áreas de los cuatro triángulos rectángulos (rojos, para variar) y la del cuadrado azul central. Es este cuadradito el que nos conducirá al álgebra de nuestros primeros años de bachillerato. Para un niño de siete años, por ahora es solo un rompecabezas.

Termino con una curiosa nota política. Ciertamente ha habido matemáticos presidentes de su país, este enlace dice algunas cosas interesantes al respecto. Pero con relación al teorema de Pitágoras la historia recoge una demostración del presidente número 20 de los Estados Unidos: James Garfield. Con astucia de gato -propia de su apellido- este caballero, matemático aficionado, enlazó dos triángulos rectángulos iguales, logrando que entre ellos pudiera insertarse otro triángulo rectángulo de catetos iguales. La figura que así se forma es un trapecio, cuya área puede calcularse de dos maneras: (1) usando la famosa fórmula semisuma de las bases por la altura y (2) sumando las áreas de los tres triángulos rectángulos. Agudo y simple. La vida de Garfield terminó en el ejercicio del cargo, como producto de una agudeza y de una torpeza: la agudeza de una bala que le metieron en el tórax y la torpeza de un medicucho que extendió la herida en vez de cerrarla. Posiblemente le recordemos más los matemáticos que los políticos.