En el momento de recibir uno de los innumerables premios que ha ganado a lo largo de su vida, el actor Morgan Freeman afirmó -palabras más, palabras menos- que si el trabajo era algo desagradable, entonces él jamás había trabajado, pues nunca había hecho nada distinto de aquello que le gustaba. Se suele contraponer placer y trabajo: alguna máxima se ha empeñado en que el trabajo lo hizo Dios como castigo, de manera que son cosas radicalmente distintas decir Fulano está trabajando a Fulano está jugando. Pero lo absoluto siempre ha sido un imán de contradicciones y es muy fácil mostrar contraejemplos a esta idea: basta ver que hay gente que vive de jugar (y ganan por ello unas sumas fabulosas, de paso).En la valoración del común de la gente, la matemática ha ganado fama de adusta; tal adustez hace entonces contrasentido con la idea de que pudiera ser divertida o, más aún, comparable con juego alguno. De nuevo nos encontramos con el eterno conflicto entre apariencia y parecencia: el matemático no hace otra cosa que jugar. (Claro: en ninguna parte del mundo gana las astronómicas sumas de jugadores en otras áreas y menos en este oscuro rincón de la Tierra, donde cualquier pauta cultural es sospechosa y ni siquiera se sabe para qué sirve un matemático.)
No debe sorprender, por tanto, que el juego en sí sea un objeto matemático... y efectivamente lo es; de hecho, hasta existe una teoría matemática que lleva el sugerente nombre de teoría de juegos. No hace falta ir tan lejos, sin embargo: cualquier juego puede motivar un problema matemático. (Por ejemplo: ¿cuál es el número posible de juegos distintos de la vieja o tres en raya.) Y hasta existen juegos hechos precisamente para que la gente aprenda matemática. Y esto último no es nada nuevo... es más, allí es donde quiero aterrizar. Porque resulta que, de un tiempo a esta parte, Tomás Guardia -joven matemático, profesor de la Universidad Central de Venezuela (UCV)- y este servidor se ocupan de un juego medieval llamado rithmomachia, que sería ocioso describir aquí ya que le hemos dedicado dos artículos: Rithmomachia: un juego serio (¡como todos los juegos!) y Rithmomachia: espíritu y acción. En todo caso, es un juego de números para sacar las cuentas que aprendimos en la escuela primaria, algo de regla de tres y, si avanzan mucho (porque hay varios niveles de juego), un poquito de progresiones.
Rithmomachia se inventó para ayudar a la gente a aprender los conceptos de De institutione aritmética de Boecio, un libro de tradición pitagórica, cuya vigencia duró la bicoca de entre 900 a 1000 años. En ese libro se habla de cosas tan raras como múltiplos, superparticulares, partientes y superpartientes. Con estos específicos conceptos se diseñan los números que se colocan sobre el tablero de rithmomachia (que se ve en la foto de arriba). Jugar para aprender... en realidad un procedimiento nada nuevo.
Les cuento más. Los griegos clásicos construyeron todo su arte sobre la teoría de las proporciones. Resulta ser que la proporción preferida es la que hoy llamamos razón áurea, que consiste en cortar un segmento en dos partes desiguales, de manera que la razón (o cociente, o división) entre el segmento completo y la parte mayor del corte sea la misma que la existente entre dicha parte mayor y la menor. La razón áurea con el tiempo permitió identificar un número especial, que se llamó el número de oro, relacionado tanto con el número 5 como con el pentágono regular. Es irracional, lo que en matemática se refiere a la extraña particularidad de tener una parte decimal con infinitas cifras que no llevan un patrón de formación constante; con cinco decimales es igual a 1,61803. Hacen multitud los libros que muestran la presencia del número de oro en innumerables obras de arte antiguas y modernas. Pero, aunque parezca cosa de locos, el número de oro tiene que ver con los conejos.En el siglo XIII un matemático a quien apodaban Fibonacci, se dio cuenta que a partir de una pareja de conejos la población crecía según la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, etc., en la cual cada número que se escribe es la suma de los dos últimos que se escribieron. (Los dos primeros unos corresponden al conejo y la coneja inicial.) Fíjense que la sucesión puede continuarse todo lo que se quiera, es decir, uno puede seguir escribiendo números (cada vez más grandes) siguiendo la regla anterior hasta que lo lleven a la tumba. Lo interesante es que si a cada uno de esos números uno lo divide por el que dejó atrás entonces el resultado se parece cada vez más al número de oro (¡busca la calculadora, lector!). En otras palabras: la sucesión de Fibonacci contiene dentro de sí -de manera solapada- al número de oro.
Y entonces en una oportunidad se puso a juguetear con los números de rithmomachia y consiguió cosas que se parecen al número de oro. Yo recordé la película π, orden en el caos de Darren Aronofski, en la que el mentor del protagonista Max lo previene de ponerse a buscar números, pues quien busca un número siempre lo encuentra: esa es la esencia de la numerología, "ciencia" tan alabada por los habladores de pistoladas que ocupan los espacios televisivos matutinos.No obstante en la esencia del número de oro está el sutil concepto de infinito: se supone que
para llegar a él por medio de la sucesión de Fibonacci tendríamos que escribir los infinitos números de la sucesión, cosa imposible para la dinámica de la vida, mas no para el poder de la imaginación. Eso es lo que hace el matemático: imaginar. Imaginamos entonces Tomás y este servidor que quizás hubiera una manera de convertir el tablero de rithmomachia en un tablero infinito, manteniendo aun vivo el espíritu de Boecio y su milenario texto, vale decir, mantener el espíritu pitagórico. ¡Resultó que se podía! Y... ¡a qué no adivinan! Se pudo justamente con la sucesión de Fibonacci. (Vale la pena comentar que Boecio vivió de 480 a 524 d. C., mientras que Fibonacci lo hizo de 1170 a 1250 d. C.) Por mucho que algunos la vean como materia muerta, la matemática tiene vida propia. No hay nada que se descubra en matemática que no traiga nuevas preguntas. Lo primero es que las cosas que se descubren tienen que recibir un nombre, hay que bautizarlas; por razones etimológicas, los números que descubrimos quisimos llamarlos sucesiones fibocuadráticas (¿suena complicado? ¿díganme qué les parece esternocleidomastoideo?) Y resultó que, de manera muy natural, las sucesiones fibocuadráticas también guardan solapadamente al número de oro... ¡una manera muy satisfactoria de convertir la numerología original de Tomás en matemática genuina!
Pero el nuevo engendro siguió cobrando vida.
Pasa que como la sucesión de Fibonacci es una especie de mina inagotable de resultados matemáticos hermosos, en el siglo XVII el astrónomo Giovanni Cassini consiguió una muy bella relación entre tres términos consecutivos cualesquiera de la sucesión de Fibonacci. Resultó natural -aunque no necesariamente se cumpla siempre esta condición histórica- que a esta relación se le llamase identidad de Cassini. Pues bien, en esta jugadera con rithmomachia a nosotros se nos atravesó varias veces en el camino la identidad de Cassini, hasta que llegamos a una fórmula que no involucraba solo tres términos de la sucesión de Fibonacci, sino cualquier número de términos de la misma. Más todavía: la fórmula nuestra se aplica a cualquier sucesión que se parezca (en cierto sentido) a la sucesión de Fibonacci. Resulta entonces que esta fórmula es una extensión de la identidad de Cassini. Todo eso escondido en un juego medieval pensado para ayudar a leer un libro de aritmética.Ya con esto es suficiente. Para finalizar aquí basta decir que la cadena de preguntas no se ha parado, pero como se desprende del discurso de Morgan Freeman, pocas cosas son mejores que divertirse con lo que se hace como actividad de vida. Por eso esta descripción -que no debe parecerle a nadie algo extraordinario: es lo que hace habitualmente el matemático; cada día se logran cosas como ésta y aun más profundas e interesantes- lo que trata es de despertar en el profano de nuestra ciencia un sentido de su propia dinámica, de su manera particular de abordar sus realidades; mostrar que no es un sarcófago en el que sumos sacerdotes practican necrofilia intelectual. Es un organismo vivo y de colores brillantes.
Los trabajos matemáticos se presentan a la comunidad científica en un formato que se denomina con un anglicismo: paper. Nuestro paper puede conseguirse en este enlace, para aquellos de ustedes que tengan la curiosidad.
