El título de este artículo pretende jugar a la ambigüedad; la doble negación −lo enseñó Borges con maestría− siempre se presta para ello. ¿A qué aspiramos: a negar lo imposible o a reafirmar su naturaleza? Y cabe preguntar, ¿conocemos suficientemente lo imposible para intentar su delimitación conceptual? Parece, sin embargo, que cualquier respuesta que ensayemos apuntará a las capacidades de nuestros sentidos. O mejor aún: a la construcción de la realidad que la razón ha elaborado con el auxilio de los sentidos.
Incapacitados como estamos de dar una respuesta satisfactoria, podemos buscar como recurso una aproximación a ella a través de un artista que dedicó buena parte de su obra a mostrarnos cómo nuestras percepciones −y, particularmente, la reina de todas ellas: la percepción visual− llegan a lograr que nuestra concepción de la realidad se extravíe de modos absolutamente inesperados. El artista de quien queremos hacer referencia es el holandés Maurits Cornelius Escher, cuya obra se enlaza con las concepciones científicas de los últimos tiempos; enlace que resulta del todo sorprendente si hacemos notar que Escher carecía de formación científica, a pesar de lo cual en su adultez creativa confesó sentirse más cerca de los matemáticos que de los artistas. (En la entrada al post tenemos un autorretrato de Escher.)
La ciencia de finales del siglo XIX y principios del XX significó un duro golpe para quien −hasta entonces− había sido uno de los aliados más seguros del racionalismo: el sentido común. Tanto la matemática como la física comenzaron a transitar caminos que conducían a lo imposible, sin salir un momento de los terrenos de lo racional.
La pauta la fija la geometría. Un oscuro profesor ruso, empeñado como tantos otros en la búsqueda de demostración del quinto postulado de Euclides −una proposición que se había resistido a demostración durante 22 siglos− consigue, a partir de una forma de negación de este mismo postulado, todo un cuerpo de teoría de una coherencia y fortaleza lógica tales que pudo reclamar para sí el estatus de nueva teoría geométrica, vale decir, una construcción lógica que desafiaba las concepciones del espacio imperantes hasta el momento. Junto a este profesor, pero independientemente de él, otros pensadores abordaban tarea similar con enfoques distintos al suyo. El ruso se llamaba Nikolai Ivanovich Lobachevski; sus desconocidos compañeros de tarea eran los alemanes Carl Gauss y Bernhard Riemann y el húngaro Janos Bolyai. Usemos unas cuantas líneas para hablar de las teorías de Lobachevski.
La contemplación del sencillo dibujo que sigue nos ayudará a comprender. Se trata de una recta (que identificamos con la letra l) y de un punto fuera de ella (al cual identificamos como P):
¿Qué hay si queremos trazar por el punto P paralelas (es decir, rectas que no la corten) a la recta l? Los sentidos parecen decirnos que el plural está mal utilizado. Cierto: podemos trazar paralelas pero... no podemos esperar trazar más de una:
Así lo entendió el sabio Euclides en el siglo III a.C. y construyó −tomando esta proposición como la quinta de un grupo de cinco− todo un cuerpo teórico sobre el que, a su vez, se erigieron concepciones de la realidad tan imponentes como la física newtoniana. Lobachevski, sin embargo, parado quizás en una orilla de una larga calle, mientras contemplaba el borde opuesto paralelo al suyo, desvió la mirada hacia su propio borde y vio que, a ambos lados, la perspectiva parecía indicar que los bordes de la calle se buscaban. ¿Por qué no suponer, entonces, que la perspectiva hablaba de dos paralelas por el mismo punto en sentidos contrarios?
Atrevido como fue, este cambio de visión se mostró sólido en su estructura lógica, pues al mantenerse sus inferencias sin contradicciones entre ellas desde un punto de vista de vista estrictamente racional, adquirió para sí las características de teoría científica y llegó a llamarse hasta nuestros días geometría hiperbólica. Tales inferencias chocan contra el sentido común, lo que hizo necesario crear modelos que las asimilaran a éste, tales como el disco o plano de Poincaré, ideado por el brillante matemático francés Henri Poincaré. Casi al mismo tiempo otros geómetras, como August Ferdinand Möbius, intentaban un camino diferente al comenzar a preocuparse por las propiedades de los cuerpos geométricos que no sufrían cambios cuando se deformaba continuamente a estos cuerpos. A partir de esta preocupación comenzó a nacer una rama de la matemática que se denominó oficialmente topología, a la que algunos bautizaron con el mote de geometría de la lámina de goma; del seno de esta disciplina emergieron figuras tan extrañas como superficies de un solo lado o volúmenes sin exterior ni interior. Ajena a todo este torbellino de ideas científicas, la intuición de Maurits Cornelius Escher llenó su obra pictórica de lo mejor de ellas.
M. C. Escher nace en el año 1898, en Leeuwarden, Países Bajos. Hijo de un ingeniero hidráulico, quien decide para él el destino de arquitecto, comenzó la carrera en la Escuela de Arquitectura y Artes Decorativas de Haarlem, solo para abandonarla en cuanto conoció a un profesor de artes gráficas quien le despertó sus verdaderas vocaciones: el dibujo y el grabado sobre madera. En un viaje a España conoce La Alhambra de Granada, donde queda maravillado y profundamente influenciado por los diseños geométricos que en sus paredes dejó el islam. Quizás por esta razón, rápidamente perdió el interés en el arte figurativo, es decir en la reproducción más o menos fiel de la “realidad”, pasando en cambio a un vivo interés por diseños abstractos en formas concretas de geometrías no usuales, como las no euclidianas y la topología. Todo esto desde un punto de vista absolutamente intuitivo dado su ya comentado desconocimiento de la materia. Por eso no sorprende que, en su madurez creativa, haya expresado
Quien se maravilla de algo, toma conciencia de algo maravilloso. Manteniendo alerta mi mirada frente a los enigmas del mundo, si bien interesado en su plasmación sensible, entro en contacto, en cierto modo, con el dominio de las matemáticas. Aunque no dispongo de una formación en las ciencias exactas ni de conocimientos especializados, a menudo me siento más próximo a los matemáticos que a mis colegas de profesión.
Para comentar, en el espacio de que disponemos, algo de la obra de Escher necesitamos hacer un pequeño esfuerzo de clasificación. Por supuesto que esta clasificación podría llevarse a cabo de formas diversas, incluyendo como opción la cronológica. Pero poco nos ayudaría en nuestro intento −quizá inútil− de delimitar lo imposible un enfoque como éste. Antes bien, pensamos que sería mejor un acercamiento al artista por ciertos temas que abordó (algunos de ellos con suma recurrencia) y que tocan, sin saberlo su autor, aspectos bastante difíciles y sutiles de la matemática superior. Fijemos nuestra atención, entonces, en tres de estos temas: las teselaciones, la cinta de Möbius y las perspectivas imposibles.
TESELACIONES
Tesela es sinónimo de baldosa o mosaico. De manera que una teselación consiste en llenar el plano mediante un conjunto finito de formas similares o distintas. El tema de las teselaciones se inscribe en matemática dentro de la teoría de grupos y a él se han dedicado hombres tan eminentes como Roger Penrose y John Conway. Las teselaciones más simples se conocen como teselaciones regulares y disponen polígonos en formas de máxima simetría; el astrónomo Képler demostró que sólo pueden haber tres clases de teselaciones regulares: con triángulos, rectángulos y hexágonos
Afortunadamente, si las teselaciones no son regulares el espacio de posiblidades se amplía hasta el infinito y el genio de Escher vislumbró esta fuente ingente para aprovecharla al máximo. Escher podría haber llegado a las teselaciones (a las que llamó particiones regulares de la superficie) luego de su visita a La Alhambra de Granada, ante cuyas formas afirmó:
¡Qué lástima que el Islam les prohibiera a estos artistas "reproducir" figuras! Los diseños que utilizan en sus azulejos siempre estuvieron limitados a figuras geométricas. Que yo sepa, ningún artista árabe se atrevió nunca (¿o es que a ninguno se le ocurrió?) a utilizar las formas concretas y fácilmente identificables que existen en la naturaleza −peces, aves, reptiles, humanos− para dividir una superficie. Esta limitación me parece más incomprensible, cuanto que la posibilidad de identificar las figuras de mis propios dibujos es la razón de mi vivo y permanente interés por el tema de la partición regular.
y, años después escribiría a un sobrino:
En primer lugar, mi obra está relacionada con la división regular del plano... He luchado, por decirlo de alguna manera, con dos dificultades distintas, que conforman juntas todo este asunto tan cautivador para mí: la primera, "hallar", componer o juntar las figuras congruentes que necesito; la segunda, componer un plano delimitado con medidas específicas, en el cual estén encadenadas o encarceladas estas figuras, que llevan dentro de sí la infinidad o lo ilimitado.
Podemos comenzar analizando algunas obras que sugieren la teselación, pero no la desarrollan completamente; algunas veces, incluso, es solo parte de un proceso evolutivo sugerido por el artista; por ejemplo la xilografía Día y noche
muestra cómo campos de labranza ascendiendo pueden convertirse en cisnes, unos blancos, que vuelan hacia el este a encontrar la noche, y otros negros, dirigiéndose al oeste a encontrar el día. Del contorno de los cisnes negros emergen los cisnes blancos y viceversa, produciendo una bella imagen especular inversa.
Un sentido evolutivo similar tienen obras como Liberación (una litografía)
que refleja la angustia, muchas veces manifestada por el artista, en su lucha por hacer salir del papel formas que, ante la vista del espectador, adquieran su completa libertad. Asimismo, la xilografía
Aire y agua se atreve a más, pues de un oscuro fondo acuoso un solitario pez asciende, multiplicándose, hacia la superficie en donde se hace uno con un ave que ascenderá hasta el cielo hasta alcanzar su total emancipación.
Algunas veces la evolución pareciera indicar un sentido negativo, como en Ciclo
en la que un alegre y exultante joven sale corriendo de la parte interna de un edificio hacia sus escaleras; al bajar por éstas, el joven va perdiendo su aspecto tridimensional, haciéndose cada vez más plano y atonal hasta convertirse en una sombra chata de sí mismo que se tesela, de abajo hacia arriba, desde el lado inferior izquierdo del dibujo, para subir en metamorfosis que lo convertirá en disposiciones de cubos paralelos a la escalera por donde bajó. Podemos inferir −sin pretender atribuir nuestra inferencia al propio artista− que lo que estamos viendo es una figura plana y, en realidad, todas las representaciones del joven son planas, aun cuando nuestra mente les haya asignado un volumen; así, finalmente, el espacio no es más que un punto de vista.
Estas obras se desarrollan en un espacio infinito e ilimitado, pero lo limitado no es una condición necesaria de lo finito, como lo demuestran el grabado Cisnes y la xilografía Jinetes, que podemos ver a continuación;
en ambas obras se observa un conjunto de figuras idénticas −cisnes en un caso, jinetes en el otro−, pero de colores o tonos contrastantes, que se desplazan en direcciones opuestas según el color o tono. Las figuras se funden o teselan en el centro del dibujo, permitiéndonos visualmente un paso, sin solución de continuidad, al cambio de tono o color según el caso, con lo cual el pintor prefigura su trabajo con la cinta de Möbius, que analizaremos luego. Es esta permanencia de la continuidad la que instala el infinito en las dos obras comentadas.
Este último comentario me conduce a una de mis litografías escherianas preferidas: Reptiles
de la que reproduciré, además, el comentario del propio autor que me parece delicioso:
En medio de diversos objetos, está abierto un cuaderno de dibujo por una página en la que se puede ver el dibujo de un mosaico compuesto de figuras en forma de reptil, coloreadas en tres tonos que contrastan entre sí. Una de las bestezuelas evidentemente está harta de permanecer allí, plana y rígida, entre sus congéneres. Así, extiende una de sus patas más allá del borde del cuaderno y se apresta a abandonar la superficie y a gozar de su nueva libertad. Trepa por el lomo de un tratado de zoología y sube trabajosamente por la pendiente resbaladiza de una escuadra, para llegar a la cumbre de su existencia. Breve pausa, cansada pero satisfecha, inicia, pasando por un cenicero, el descenso que la hará retornar al papel de dibujo, a la superficie plana. Allí se inserta obediente entre sus antiguos compañeros y vuelve a asumir sus funciones de elemento de partición de la superficie.
¡Bellísima alegoría de la vida! En la que además, Escher parece acusar una fuerte influencia platónica al situar al reptil, en el momento más vigoroso de su existencia activa, encima de la cara superior de un dodecaedro, sólido compuesto de doce caras pentagonales, al que Platón consideró el plano en el que Dios se basó para construir el Universo.
La primera teselación realizada por M. C. Escher, data de 1922; se trata de una xilografía llamada Ocho cabezas
y fue ejecutada siendo aún estudiante en Haarlem. Esta teselación corresponde al concepto de teselación periódica, calificación que señala la posibilidad de seleccionar una sección de ella para construir baldosas que, colocadas una junto a la otra, reproducen, sin solución de continuidad, el dibujo ad infinitum. Consiste, como su nombre lo indica, en ocho cabezas de las cuales cuatro pueden verse en una disposición del dibujo y de las otras cuatro se obtiene detalle exacto girando el dibujo 180 grados. La teselación periódica fue tema permanente de Escher; como muestra incompleta presentamos tres ejemplos de la multitud de obras que denominó Partición regular del plano:
Sin embargo, a pesar de la enorme cantidad de obras de Escher de este tipo, la teselación periódica significaba para él como artista una limitación insoportable, de manera que necesitó dirigir la exploración hacia otras posibilidades que lo acercaran aún más a la incansable búsqueda del infinito que evidenció en una cita anterior. Observemos que la teselación periódica es una manifestación del infinito potencial; esto es, el dibujo de la teselación puede repetirse tanto como se quiera solo con poner las teselas unas en contacto con otras: el infinito, entonces, es una posibilidad. Desde los griegos clásicos hasta el siglo XVII fue éste el punto de vista imperante respecto al infinito; el cálculo diferencial, sin embargo, cambiaría las cosas al usar un lenguaje que contenía términos como cantidades evanescentes, que la terminología moderna convertiría en diferenciales. Estas cantidades evanescentes serían de una naturaleza tal que −en una degradación que la experiencia rechaza− alcanzarían lo infinitamente pequeño sin llegar a ser cero. Esto hacía de lo infinito una sustancia más que una posibilidad, es decir, el infinito podía ser predicado de algún sujeto. A esto se le llamó el infinito actual.
Los heresiarcas que edificaron este insólito proyecto se sustentaban en el éxito de sus realizaciones: los siglos XVII y XVIII fueron de grandeza para la matemática en cuanto a la enorme cantidad de nuevos resultados obtenidos. Pero había, dentro y fuera de la matemática, quienes señalaban −a veces con insólita dureza− que el lenguaje dejaba mucho que desear respecto a la fundamentación de estas ideas. La primera mitad del siglo XIX pondría las cosas en su sitio, pero por la vía de un retorno al infinito potencial y de un nuevo lenguaje que alejaba la matemática del terreno intuitivo y la llevaba por caminos de extrema formalidad. Paradójicamente, estos mismos caminos condujeron a Georg Cantor de nuevo al infinito actual por intermedio de su sorprendente teoría de conjuntos, la cual abría la puerta a la existencia de diversas clases de infinito, siendo el más pequeño de ellos el infinito que corresponde a los números que usamos para contar. Para este infinito, Cantor ideó un bello símbolo: aleph sub cero, la letra hebrea aleph seguida del subíndice cero.
De estas ideas está permeado el espíritu del grabado en madera Cada vez más pequeño
del cual comenta el artista
La superficie de cada uno de los elementos en forma de reptil se divide hacia el centro, de modo sistemático y continuo, por la mitad. Al llegar al centro, se alcanza −por lo menos en teoría− tanto el tamaño infinitamente pequeño como el número infinitamente grande.
¡el diferencial (el tamaño infinitamente pequeño) y aleph sub cero (el número infinitamente grande) en una misma manifestación artística! La composición enlaza además con la antigua paradoja de Zenón −ya que los elementos se dividen en mitades en sucesión infinita−, y con la moderna teoría de fractales −pues estamos obligados a suponer que cualquier mirada microscópica al centro del dibujo nos tendría que reproducir la totalidad del mismo, tal como la estamos viendo en esta pantalla.
Sin embargo, Escher era consciente de sus limitaciones, todas de naturaleza absolutamente práctica o empírica:
En la práctica, sin embargo, todo grabador llegará muy pronto al límite de sus posibilidades. Cuatro factores le imponen un límite: 1º, la calidad de la madera; 2º, la precisión del instrumento utilizado; 3º, la seguridad de su mano; 4º, la agudeza de sus ojos (auxiliados por una fuente de luz adecuada y una lupa). En el caso presente, se continuó la partición de las figuras hasta caer en lo absurdo. El animal más pequeño, que posee todavía cabeza, patas y cola, mide alrededor de 2 mm. de largo. Desde el punto de vista de la composición, este trabajo no es del todo satisfactorio. A pesar de que el límite está situado en el centro, sigue siendo un fragmento, puesto que los límites exteriores del dibujo son arbitrarios. No se pudo, por tanto, realizar una composición cerrada.
Pareciera que el artista está incómodo por terminar en un punto geométrico lo que es todo un universo vital de imágenes, que pugnan por patentizar su existencia a pesar de su insignificante tamaño; insignificante para el ojo humano, mas no para el cerebro racional que las reclama. La insatisfacción manifestada solo podía llevarlo a una investigación más profunda. En un trabajo posterior, la xilografía Límite circular I
explora las ideas de la obra anterior, pero en un sentido inverso, es decir, reduciendo el tamaño de las figuras del interior hacia el exterior. Este procedimiento le satisface más, puesto que la disminución le lleva a una figura geométrica de mayor contenido conceptual: la circunferencia; así, le leemos:
La reducción de las figuras en la dirección contraria, o sea, de adentro hacia afuera, arroja resultados más satisfactorios. El límite ya no es un punto, sino una línea que circunvala todo el complejo, delimitándolo así de un modo lógico. De esta manera se crea, por así decir, un universo, un cuerpo geométrico cerrado. Si se lleva a cabo la reducción a lo largo de los radios, el límite consistirá en un círculo. [En este contexto, la palabra círculo debemos entenderla en el sentido de circunferencia. La diferencia es que el círculo es toda la figura, la circunferencia es solo la orilla exterior. Nota de D. J.]
Pero para nuestra sorpresa −y quizá la del propio artista− esta nueva representación es nada más y nada menos que el círculo de Poincaré, una de las distintas formas de representar en un plano la geometría hiperbólica de Lobachevski. En este modelo las líneas rectas no son como ordinariamente las concebimos, sino que son las columnas vertebrales de los peces de Escher. En efecto, tales rectas hiperbólicas son las circunferencias ortogonales a la circunferencia del círculo de Poincaré... Amenazantes como pudieran ser estas palabras, basta explicar su significado para lograr su mansedumbre: dos circunferencias que se cortan se llaman ortogonales si sus tangentes en el punto de corte son perpendiculares. En la composición gráfica siguiente el lector puede observar que las columnas vertebrales son arcos de circunferencias ortogonales a la circunferencia del círculo de Poincaré.
Pero hay un hecho más sorprendente todavía que tiene que ver con la naturaleza intrínseca de la geometría hiperbólica: en realidad todos los peces del dibujo de Escher son del mismo tamaño: lo que vemos no es sino un tipo particular de proyección del espacio hiperbólico sobre una superficie plana. En la figura siguiente
a la izquierda tenemos una curva plana llamada hipérbola, sus dos brazos no los podemos concebir limitados a la extensión del dibujo, en realidad se extienden hacia el infinito. Si a esta curva la hacemos girar sobre un eje imaginario que pase por su punto más bajo se obtiene la taza infinita que se ve a la derecha: a esta taza se le denomina hiperboloide. El hiperboloide es el terreno natural de los sucesos de la geometría de Lobachevski; de ahí su nombre de geometría hiperbólica.
Dejando descansar el hiperboloide en la xilografía de Escher, los peces que la componen se proyectan en el hiperboloide de una manera tal que todos son del mismo tamaño y, además, mientras más pequeños los veamos en la obra del holandés −es decir, mientras más cerca estén de la circunferencia del círculo− entonces sus proyecciones estarán más altas en el hiperboloide. En otras palabras, la circunferencia del círculo es un infinito: el infinito de la geometría hiperbólica. Hablar de los detalles de esta proyección nos colocaría en un terreno de cierta hondura técnica; con lo dicho hasta ahora ya hemos abordado algunas dificultades.
El círculo de Poincaré siguió siendo una de las delicias de M. C. Escher. Entre otras obras con este motivo, podemos disfrutar de Límite circular III y Límite circular IV denominada esta última también Cielo e infierno:
en la primera de las cuales el artista insiste con los peces, pero esta vez usando colores para distinguir las filas que forman siguiendo las rectas hiperbólicas. Escher comentó:
Cada fila contiene solo peces de un color. Son necesarios por lo menos cuatro colores para que las filas se distingan entre sí.
Ciertamente, cuatro es el número mínimo de colores necesarios; lo afirma el teorema de los cuatro colores, conjetura centenaria, demostrada con certeza por el matemático hindú Ashay Dharwadker, en el año 2000. Escher murió en 1972. De nuevo su intuición se muestra muy por delante de sus conocimientos. La otra xilografía contiene ángeles blancos que sirven de marco a negros demonios y viceversa, elegante alusión a nuestra humana dualidad siempre desplazándose entre los extremos del bien y del mal, entre el Dr. Jekyll y Mr. Hyde.
CINTA DE MÖBIUS
La tira o cinta de Möbius es una rara superficie topológica, cuyas propiedades fueron descubiertas por el matemático August Ferdinand Möbius. La construcción de la cinta de Möbius la ilustra el dibujo a continuación
y procede de la manera siguiente:
• Se toma una cinta rectangular de papel.
• Se gira un extremo de la misma una media vuelta.
• Se unen los extremos.
Si se unen los extremos de la cinta de papel sin realizar previamente el giro de media vuelta, lo que se obtiene es un cilindro recto circular tal como un vaso o una lata metálica. Un cilindro es una superficie de dos caras: una exterior y una interior. Una hormiga caminando sobre la cara exterior no podría pasar a la interior a menos que atraviese uno de los bordes de la figura. La característica más importante de la cinta de Möbius es la de ser una superficie de una sola cara; quien desee una demostración de este hecho solo debe admirar la xilografía Cinta de Möbius II
y seguir la trayectoria de la hormiga desde cualquier posición de la misma: regresará a esa posición luego de pasar por todos los puntos de la superficie, sin necesidad de atravesar su borde.
Más todavía, este borde de la cinta de Möbius es una sola curva continua: basta seguirlo con el dedo para adquirir la convicción. No se puede decir lo mismo de un cilindro circular, de hecho no tiene un solo borde sino dos. La consecuencia es interesante: si se corta un cilindro por su ecuador se obtienen dos cilindros separados; si se corta una cinta de Möbius se obtiene una sola superficie, pero esta vez una de dos caras. Así lo demuestra Cinta de Möbius I
en la que la unicidad de la cinta resultante la muestran los tres peces que se muerden la cola entre sí.
La cinta de Möbius está íntimamente relacionada con la botella de Klein,
un interesante volumen topológico que carece de interior y exterior: una botella que enlaza su trompa con la cola y en la que los verbos
meter y
sacar tienen serios problemas para mantener sus significados y su antonimia. Mis fuentes disponibles no me dan una obra de Escher con la botella de Klein como tema. Sin embargo, el espíritu de este raro espécimen geométrico lo encontramos en
Galería de grabados,
una litografía en la que un distraído espectador de un museo está ajeno al hecho de que está incluido en el cuadro que observa, pues éste extiende sus límites hasta incluir el museo como parte del puerto que en él se encuentra representado.
Ambos entes geométricos (la cinta y la botella) sirven como símil de situaciones en los que un giro de la realidad produce visiones incomprensibles. Un ejemplo es la película argentina
Moebius, interesante proyecto universitario, dirigido en 1996 por Gustavo Mosquera con guión de varios alumnos del Colectivo de la Universidad del Cine de Buenos Aires. El argumento es futurista: se adelanta a la creciente complejidad del sistema del Metro de Buenos Aires (
subte, le dicen los locales). En un momento dado, uno de los trenes desaparece en el tiempo y en el espacio. Ningún funcionario del sistema puede explicarse cómo. Los ingenieros deciden entonces (aunque parezca mentira... ¿lo será?) contratar a un matemático experto en topología para descifrar el enigma. El argumento de la película fue extraído del relato del mismo nombre del escritor Armin Joseph Deutsch (1918-1969), quien sitúa la acción del drama en Londres. La película −llena de alusiones políticas y duramente criticada desde el punto de vista técnico− no deja indiferente a ningún espectador. Sin embargo, la alusión a Möbius es solamente metafórica, pues la cinta nada tiene que ver con el desarrollo de la trama.
A su hijo George y a Corrie, la esposa de éste, escribió Escher:
Y así puedo seguir quejándome y quejándome de que no volveré a hacer jamás un nuevo grabado... Sin embargo, rechazo de plano hacer esto, porque hay una cinta de Möbius esperando en mi alma. De vez en cuando, le escucho gritar: ¡Quiero salir, quiero salir!
lo cual muestra la enorme fascinación que este objeto tenía para el artista. En los años 40 ya se había acercado a ella en leve sugerencia, tal como lo muestran Cisnes y Jinetes, obras que analizamos párrafos atrás. En la litografía Dado con cintas mágicas
dos cintas con prominencias convexas y entradas cóncavas se enlazan en las diagonales de las caras de un cubo. Si seguimos la trayectoria de cualquiera de las cintas vemos que hay un punto donde la cara de prominencias se convierte en una de entradas. ¿Cómo podría suceder esto si las cintas no fueran de Möbius?
La obra de Escher que más abruma mi espíritu es Manos dibujando
en la que Héctor Pijeira, de la Universidad Carlos III de Madrid, llamó mi atención a una delicada alusión a la cinta de Möbius. Esta llamada de atención comete el pecado de ser discutible, entre otras cosas porque la obra produce una sensación inicial de simetría de la que la cinta carece. Sin embargo, el artista juega impíamente con las expectativas del observador: el dibujo no es simétrico, ni siquiera desde la perspectiva enantiomórfica o especular. La mano derecha todavía está activa, aunque ha terminado todos los detalles de la mano izquierda, incluso la yunta de la camisa que ésta última no ha podido realizar, por el reposo que decidió tomarse dejando caer levemente el lápiz hacia la mesa de dibujo.
PERSPECTIVAS IMPOSIBLES
La perspectiva en la pintura fue un problema que comenzó a estudiarse desde el Renacimiento temprano. La antigüedad y la edad media ignoraron sus leyes y representaron planas las figuras en el plano, aun cuando sus contrapartes reales tuvieran volumen. La razón de ser de la perspectiva es justamente dar la sensación de volumen a pesar de representar las figuras en un plano. Se trata de un asunto científico, más todavía, matemático, y a él se dedicaron mentes de sagacidad especial como la de León Battista Alberti y Piero della Francesca, cuyas técnicas fueron aplicadas con éxito singular por ellos mismos y otros como Leonardo, Durero y Miguel Ángel.
La perspectiva se basa en un hecho fisiológico: el ojo percibe a la distancia los objetos con un menor tamaño del que les corresponde y las rectas paralelas como convergentes. Llevadas a la pintura, la disminución de tamaño se conoce como escorzo y el punto donde las paralelas se consiguen recibe el nombre de punto de fuga. Un ejemplo algo manoseado y, por lo mismo, siempre útil es La última cena de Leonardo DaVinci
en la que el punto de fuga está en el plano situado en la cabeza de Jesús. La perspectiva es siempre un engaño visual, pero su cometido es utilizar su engañosa capacidad para ganar en el espectador la sensación de realidad. El artista hace funcionar así un mecanismo deliciosamente perverso, con el que se atreve a transmitirnos el paralelismo haciendo que las rectas pretendidamente paralelas converjan en un punto, vale decir, se trata de una afirmación del paralelismo por negación del mismo.
Como todo buen pintor que se respete, Escher se sintió atraído desde temprano por los problemas de perspectiva. Una de sus primeras obras, Torre de Babel
fue realizada en 1928 y se muestra algo ingenua tanto en su concepción como en su desarrollo. Escher se decide por la perspectiva vertical desde arriba (perspectiva de vista de pájaro) pues, en sus propias palabras, el drama sucede en la punta de la torre; esta elección lo obliga a un fuerte escorzo hacia abajo. Posiblemente quedó inconforme, pero dejó la materia pendiente hasta finales de la década de los 40, aun cuando en sus obras figurativas se muestra como un consumado perspectivista; nos bastaría mostrar dos hermosos trabajos Castrovalva y Naturaleza muerta con calle, ambos de la década de los 30.
Esta última es una humorada del autor pues la calle representada se asienta sobre la mesa del observador. No es el único caso en el que la obra se adueña de la realidad y la incorpora sobre sí misma: recordamos haber visto antes Galería de grabados o también Reptiles, en la que la apropiación de la realidad por la obra se instala más bien como un metadiscurso, es decir como la expresión de una posibilidad de realización.
Al comentar los trabajos desarrollados a partir del año 1947, Escher afirma
... la perspectiva y el horizonte, se consideraban, antes de la invención de la fotografía, estrechamente vinculados. Sin embargo, ya en el Renacimiento se sabía que no solo las líneas paralelas de un edificio se cortaban en un punto del horizonte (el famoso punto de fuga), sino que también las líneas verticales confluyen en otro punto, arriba en el cenit y abajo en el nadir... Pero no es sino hasta la invención de la fotografía cuando nos hemos familiarizado realmente con la perspectiva vertical.
Ahora bien, todo indica que estaba lejos de la intención del artista el usar la perspectiva como una forma condescendiente de presentar la realidad al espectador. En realidad M. C. Escher siempre parecía andar a la búsqueda del efecto contrario, es decir, podía estar más interesado en demostrar el carácter absolutamente relativo de la percepción visual. A ello lo conduce una convicción:
... personalmente, no estoy seguro de la existencia de un espacio objetivo real. Todos nuestros sentidos revelan solo un mundo subjetivo para nosotros; todo lo que podemos hacer es pensar y posiblemente suponer que, en consecuencia, podemos colegir la existencia de un mundo objetivo.
Pero dado que un artista gráfico debe ser juzgado más por su obra que por sus palabras, vemos que esta inferencia de juego con la realidad se nos patentiza con claridad en un grabado como Otro mundo II
en el que se da el lujo de usar las tres formas diferentes de perspectiva mencionadas, cada una de ellas condicionada por la contemplación de los hombres−pájaro que nos observan burlonamente desde las caras del cubo. Si nos concentramos en aquél colocado en la parte inferior del dibujo, se nos abre una perspectiva vertical cuyas paralelas convergen al cenit... a pesar de que el plano de observación está situado en la cara inferior horizontal del cubo. El techo en esta perspectiva es la cara trasera del cubo (la delantera está removida para permitirnos la observación), donde un hombre−pájaro nos mira de frente; al contemplarlo a él, el cerebro cambia la perspectiva a una horizontal con punto de fuga tradicional, en cuyo techo hay un tercer hombre−pájaro que esta vez nos exige colocarnos en perspectiva vertical cerrada hacia el nadir, con la que el hombre−pájaro central pasa a estar situado en el suelo.
El genio escheriano resplandece en sus representaciones de arquitecturas imposibles. Una de la primeras, Relatividad, realizada en 1953,
es un reto a la concepción de la gravedad, se trata de una realidad de nueve dimensiones: tres mundos distintos conviven manteniéndose perpendiculares entre sí; sus habitantes definen sus propias horizontales, dos de las cuales el espectador puede compartir, girando la litografía en ángulos de 90 grados, una vez en el sentido de las agujas del reloj y otra en sentido contrario, desde la posición inicial. Si gira 180 grados desde dicha posición inicial, rechazará la percepción.
En 1955 compone la litografía Cóncavo y convexo
estéticamente seductora y con la que logra que la geometría sea solo un capricho del cerebro. El flautista que toca en una de las ventanas más altas lo podemos ver tanto por fuera de la edificación completa, como dentro de una habitación que suponemos abovedada, al igual que las dos situadas en el centro del dibujo. Debemos suponer que el otro flautista ejecuta su instrumento en una ventana situada en pared paralela a la del primer flautista, mas lo contemplamos perpendicular a él. Si este último flautista decidiera saltar hacia el piso donde reposa plácidamente un joven, corre el riesgo de perder su vida pues lo espera el vacío. De manera que las escaleras al lado de la habitación del flautista son solo una peligrosa ficción, que nos hace creer a ratos en la posibilidad del ascenso hacia un puente convexo y luego gira violentamente con la punta de los escalones señalando al vacío y terminando en una bóveda cóncava.
En otro de sus clásicos, Belvedere, del año 1958,
vuelve a uno de sus sólidos preferidos: el cubo (sólido platónico, por cierto). La parte inferior izquierda de la litografía muestra a un muchacho que se distrae contemplando un cubo construido a partir de sus aristas, así como al diagrama de su construcción que reposa en el suelo. Una mirada atenta al cubo nos mostrará que algo no funciona bien: la arista más cercana a nosotros unas veces es interna, otras externa y otras tanto lo uno como lo otro. Esto podría entenderlo quizás un físico cuántico, acostumbrado a partículas que existen y no existen o están en dos sitios distintos simultáneamente. Pero ya Richard Feynman, una de las mayores autoridades de la materia, aclaró que, en realidad, nadie entendía la física cuántica. La cara superior del cubo unas veces mira el rostro del joven, otras se ladea levemente hacia el prisionero que reclama su libertad con ferocidad. Todo este motivo inferior no es otra cosa que una prefiguración, en menor escala, de lo que el espectador percibirá en la parte principal del dibujo: los dos pisos superiores −en particular, el segundo de ellos− en donde las columnas que se soportan en la parte frontal inferior terminan sosteniendo la parte trasera del techo y viceversa; además para ascender al segundo piso se puede colocar una escalera que vaya desde dentro del edificio hacia la fachada. De esta obra, Escher escribió lo siguiente:
Mi grabado no es alta matemática. Mi incapacidad para expresarlo con mayor precisión se debe a mi falta de formación matemática, supongo. Esto es realmente lo que me apasiona de mi posición en lo que a las matemáticas se refiere: nuestros dominios se tocan pero no se traslapan. ¡Lo lamento!
Esta mención a la relación que el propio Escher reconocía tener con la matemática, así como el registro cronológico que hemos llevado en los últimos comentarios es el marco de una interesante anécdota que involucra a L. S. Penrose, médico y físico, así como a su hijo R. Penrose, uno de los matemáticos y físicos teóricos mas connotados de la actualidad. En el Congreso Internacional de Matemáticos, realizado en Amsterdam en 1954, Escher presentó una exposición a la que asistió R. Penrose. En este congreso, el artista se entrevistó con el brillante geómetra H. S. M. Coxeter y con el mismo Penrose. Entre otras obras, allí se pudo admirar Relatividad, lo que llamó tanto la atención del físico que años después declaró:
Recuerdo que quedé totalmente maravillado con su obra, a la que contemplaba por vez primera. Cuando regresé a Inglaterra, decidí que también yo lograría algo “imposible”... A la menor oportunidad que tuve, le mostré a mi padre el triángulo. Inmediatamente, él ensayó un número de variantes hasta que llegó al dibujo de una escalera imposible, cuyos escalones conducen infinitamente hacia abajo (o hacia arriba).
El triángulo que menciona Penrose, así como la escalera imposible que dibujó su padre, aparecieron en un artículo firmado por ambos −padre e hijo− en el año de 1958 en el British Journal of Psychology:
El triángulo −que llegó a ganar el mote de tribar− está armado con tres barras perpendiculares entre sí, de manera que sus ángulos internos suman 270 grados. Luego de la lectura del artículo, según su propia confesión, Escher compuso una de sus más comentadas litografías Subir y bajar
en la que aparece como motivo central la escalera imposible de Penrose padre. Respecto a lo allí representado, el artista filosofó
Los moradores del edificio son acaso monjes, miembros de una secta desconcida. ¿Estarán obligados a ejecutar el ritual de andar cada día algunas horas por esta escalera? Si se cansan, probablemente se pondrán a bajar la escalera en vez de subirla. Ambas direcciones, aunque igualmente razonables, tienen la desventaja de no ofrecer descanso. Por lo pronto, dos individuos rebeldes rehúsan a participar en el ejercicio. Tienen sus propias ideas, pero tal vez terminen por reconocer su error.
¡Inquietante declaración de alguien a quien nunca nadie hubiera podido obligar a recorrer un mismo camino infinitas veces!
Si con Relatividad Escher logra inspirar a Penrose la génesis del tribar, en Cascada
ya usa la creación del científico de una manera absolutamente consciente, no una sino tres veces. El efecto es el de mover un molino con el agua de una cascada que cae desde el mismo nivel en el que está situado el molino. La señora que tiende su ropa despreocupadamente está ajena al drama del espectador, confundido ante este atrevimiento gravitatorio inexplicable. Es posible que el joven que se recuesta tranquilamente en la pared del balcón piense en ello, pero pareciera no tener la perspectiva necesaria. En una conferencia titulada Lo imposible, Escher comentó
Quien desee describir algo inexistente tiene que seguir ciertas reglas. Estas reglas son, más o menos, las mismas que para los cuentos de hadas.
Pero, después de todo, nunca hemos dejado de soñar la posibilidad de que los cuentos de hadas dispongan del terreno de nuestra realidad. Idea frágil, por supuesto, mas... ¿qué idea no lo es? Del siglo XVII al principio del XIX nos aferramos, casi de manera prepotente, al racionalismo y al determinismo apoyados en los enormes avances de la matemática y la física. El final del siglo XIX y el XX demolieron nuestro pedestal. Nos legaron asombrosas geometrías; teoremas matemáticos negadores del poder del pensamiento matemático; la ruptura del tiempo y el espacio como entes absolutos; un universo finito pero sin límites en sus dimensiones gigantescas; un universo absolutamente probabilístico −en el que ser y no ser es posible hasta cierto grado− en sus dimensiones más pequeñas. No tenemos derecho a pensar en lo imposible. Por fortuna, Maurits Cornelius Escher dejó constancia de ello.
