UNA REFLEXIÓN NOVEDOSA ACERCA DE UN MUY VIEJO RESULTADO (PARTE II)

La actividad matemática descansa sobre dos pilares fundamentales, pero a veces contrapuestos: la intuición y la lógica. La primera de ellas suele tomar forma heurística o mayéutica, entendiendo estas palabras como el arte de hacer preguntas; es un método socrático: la interrogación lleva al descubrimiento y lo que se descubre está dentro del aprendiz o investigador. Es una actividad dinámica y desordenada o caótica.

La lógica, por su parte, recoge el producto de lo anterior y lo ordena de acuerdo a reglas precisas. Por lo general, en un libro de matemática lo que solemos leer es la expresión lógica del pensamiento. Los textos no se distraen exponiendo las motivaciones. Por eso, a algunos la matemática les parece un edificio infranqueable. Una reflexión que mucha gente (incluso matemáticos) suele hacerse es: ¿Y cómo se le ocurrió eso a este señor? ¡Yo jamás llegaría ahí!.

A la pregunta de esa reflexión solo le cabe una respuesta: ¡por medio del trabajo! Se dice que Picasso afirmó: Si la imaginación llega, que me consiga trabajando. A nadie se le ocurren cosas espontáneamente. El concepto de gravitación universal no vino porque una manzana le cayera a nadie encima, pero sí pudo suceder que la caída de la manzana ayudara a ordenar lógicamente un pensamiento, que no conseguía forma desde mucho tiempo atrás. Sin ese pensamiento previo (largo, sostenido y constante), ni una manzana ni un coco caídos en una cabeza cualquiera, pudieran generar un concepto tan rico y complejo.

Enlazo estas reflexiones con mi post anterior, luego de unos intercambios epistolares muy interesantes y amenos con Po-Shen Loh. Él nos muestra que el enfoque de Duarte y el suyo propio son dos cosas distintas, lógica y pedagógicamente. El de Duarte es una reflexión posterior al aprendizaje de la ecuación de segundo grado, basándose en algo que los algebristas llaman relaciones de Cardano-Vieta. Su propuesta, por otro lado, es anterior (e iniciadora) del aprendizaje de la ecuación de segundo grado: él muestra cómo enfocar la solución de dicha ecuación, a partir de algo que se llama factorización del trinomio de segundo grado. En resumen: mientras la propuesta de Duarte es matemática pura y simple, la de Po es una propuesta pedagógica que, desde su punto de vista, puede cambiar la manera en que los aprendices abordan el estudio de la ecuación de segundo grado.

Es una propuesta que, de seguro, proviene de su esfuerzo pedagógico en el entrenamiento olímpico matemático a jóvenes estadounidenses. En los últimos cinco años, Po ha vuelto a colocar a Estados Unidos cuatro veces en el primer lugar de la IMO (Olimpiada Internacional de Matemática), cosa que no lograba el país desde 1994. De manera que la vocación pedagógica de Po-Shen Loh, aunada a su capacidad creativa en matemática, está fuera de toda duda.

Estoy de acuerdo con Po en su propuesta acerca de la cuadrática, al punto de que incluiré su método en mis propios materiales de enseñanza y me gustaría decir algunas palabras acerca del mismo, pero seré muy general, para no incurrir en tecnicismos que me espanten lectores. Las líneas generales del método (que sustentan el razonamiento de Duarte y el de Po) eran incluso conocidas por el algebrista griego Diofanto (c. 200/214 y fallecido c. 284/298), tal como me muestra el mismo Po en una página del tratado de álgebra del griego. (Al margen: decir algebrista griego es casi lo mismo que decir Diofanto; no hubo otro entre los matemáticos clásicos.) En todo caso, la ilustración a la derecha resume las bases del método para quien haya leído el paper. En la segunda línea del dibujo, r y s son las raíces de la ecuación, que están a la misma distancia del promedio -b/2. La última línea se llama parametrización por la distancia respecto al promedio. Lo interesante es una reflexión del mismo Po, que voy a incluir literalmente desde su correo. (Espero que mi traducción no la traicione demasiado.)

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He reflexionado más profundamente en esta historia, y creo que puedo conjeturar por qué, para el pensamiento babilónico, fue natural parametrizar por la distancia al promedio, mientras que para nosotros no lo es. Creo que la razón está en que los babilónicos usaban la base 60 (Nosotros usamos la base 10. Nota de D. J.), lo cual les hacía difícil memorizar la tabla de multiplicación (tendría 3600 entradas o 2000, si usamos la conmutatividad). 

Es decir, mientras nosotros podemos factorizar un número como 35, simplemente buscando los resultados de la tabla de multiplicar, ellos no. Algunos eruditos piensan que, en vez de eso, los babilónicos multiplicaban los números por el procedimiento de restar cuadrados. Por ejemplo,  23 x 27 = 25x25 - 2x2, y 23 x 26 = 24.5x24.5-1.5x1.5. De esta manera, para multiplicar enteros, ellos solo necesitaban tablas de los cuadrados de los semienteros. (Es decir, la mitad de los impares. Nota de D. J.) El esfuerzo de memorización (o almacenamiento escrito) requerido es mucho menor que el necesario para una tabla de multiplicación de doble entrada. 

De esta forma, cuando los babilónicos preguntaban: ¿cuáles son los factores de 35?, probablemente convertían la pregunta en ¿cuáles son los cuadrados cuya diferencia es 35?, haciendo muy natural su parametrización en términos del promedio. Es interesante observar la variación en el algoritmo de cálculo cuando pasamos de la memorización a restar el cuadrado del promedio menos el cuadrado de la diferencia.
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Si la leyeron con cuidado, podrán entender que las estrategias de cálculo de la humanidad están ligadas al momento histórico en el que se vive. Tendemos a pensar que nuestra manera de hacer las cosas es natural y, en realidad, no es así. El repetirlos constantemente es lo que les da su supuesta naturalidad. Aunque cada vez se calcula menos usando el cerebro y, poco a poco, vamos perdiendo familiaridad con cualquier procedimiento. El analfabetismo matemático funcional generalizado podría estar a la vuelta de la esquina.

Otro asunto relacionado es el hecho de que la electrónica hizo innecesario el manejo de las tablas de cálculo. Hasta finales de los años 70 del siglo pasado existían tablas de cuadrados, cubos, logaritmos, funciones trigonométricas y todo lo que fuera necesario almacenar, para no tener que realizar cálculos una y otra vez. Era una costumbre que, como se ve, provenía de civilizaciones tan antiguas como Egipto y Babilonia. La aparición de las calculadoras y las computadoras nos ha permitido ganar el tiempo que usábamos consultándolas y realizando, además, los cálculos residuales que ellas siempre dejaban. ¿Estamos usando provechosamente ese tiempo que hemos ganado?